Упр.70 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Построить график и выяснить свойства функции:
1) $$y=1-\sin x$$;
2) $$y=2+\sin x$$;
3) $$y=\sin 3x$$;
4) $$y=2\sin x$$;
5) $$y=\frac{3\sin x}{2}$$;
6) $$y=2-\sin 2x$$.
$$y=1-\sin x$$
Это график $$y=\sin x$$, отражённый относительно оси $$Ox$$, и затем сдвинутый вверх на $$1$$.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[0;2]$$
$$T=2\pi$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y>0 \text{ при } x\in\left(-\frac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)$$
возрастает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$
убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.$$y=2+\sin x$$
Это график $$y=\sin x$$, сдвинутый вверх на $$2$$.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[1;3]$$
$$T=2\pi$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y>0 \text{ при всех } x\in(-\infty;+\infty)$$
возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$
убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.$$y=\sin 3x$$
Это график $$y=\sin x$$, сжатый вдоль оси $$Ox$$ в 3 раза.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-1;1]$$
$$T=\frac{2\pi}{3}$$
Функция нечётная.
$$y>0 \text{ при } x\in\left(\frac{2\pi n}{3};\,\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right)$$
$$y<0 \text{ при } x\in\left(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}\right)$$
возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$
убывает на $$\left[\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3};\,\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.$$y=2\sin x$$
Это график $$y=\sin x$$, растянутый вдоль оси $$Oy$$ в 2 раза.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-2;2]$$
$$T=2\pi$$
Функция нечётная.
$$y>0 \text{ при } x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n)$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-\pi+2\pi n;\,2\pi n)$$
возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$
убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.$$y=3\sin\frac{x}{2}$$
Это график $$y=\sin x$$, растянутый вдоль оси $$Ox$$ в 2 раза и вдоль оси $$Oy$$ в 3 раза.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-3;3]$$
$$T=4\pi$$
Функция нечётная.
$$y>0 \text{ при } x\in(4\pi n;\,2\pi+4\pi n)$$
$$y<0 \text{ при } x\in(-2\pi+4\pi n;\,4\pi n)$$
возрастает на $$\left[-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right]$$
убывает на $$\left[\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.$$y=2-\sin 2x$$
Это график $$y=\sin 2x$$, отражённый относительно оси $$Ox$$, затем сдвинутый вверх на $$2$$.
$$D(y)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[1;3]$$
$$T=\pi$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y>0 \text{ при всех } x\in(-\infty;+\infty)$$
возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right]$$
убывает на $$\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb Z$$.
Ответ
Для функций построены графики и указаны основные свойства: область определения, область значений, период, чётность, промежутки знакопостоянства и монотонности.
