Упр.7 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

7. 1) у = 2sin2x — cos2x;
2) y = 1 — 8cos2xsin2x;
3) y = 1+8cos2x/4;
4) y = 10 — 9sin23x;
5) y = 1 — 2 |cosx|;
6) y = sinx + sin (x+ пи/3).

Подробный ответ

$$y=2\sin^2 x-\cos 2x.$$
Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:
$$ y=2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}-\cos 2x=1-\cos 2x-\cos 2x=1-2\cos 2x. $$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$ -2\le -2\cos 2x\le 2, $$
$$ -1\le 1-2\cos 2x\le 3. $$
Следовательно, $$E(y)=[-1;3].$$
$$y=1-8\cos^2 x\sin^2 x.$$
Преобразуем:
$$ 8\cos^2 x\sin^2 x=2(2\sin x\cos x)^2=2\sin^2 2x, $$
поэтому
$$ y=1-2\sin^2 2x. $$
Так как $$0\le \sin^2 2x\le 1,$$ то
$$ -2\le -2\sin^2 2x\le 0, $$
$$ -1\le 1-2\sin^2 2x\le 1. $$
Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$
$$y=\frac{1+8\cos^2 x}{4}.$$
Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:
$$ y=\frac{1+8\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}}{4} =\frac{1+4(1+\cos 2x)}{4} =\frac{5+4\cos 2x}{4} =\frac54+\cos 2x. $$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$ \frac54-1\le y\le \frac54+1, $$
то есть
$$ \frac14\le y\le \frac94. $$
Следовательно, $$E(y)=\left[\frac14;\frac94\right].$$
$$y=10-9\sin^2 3x.$$
Так как $$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2},$$ получаем:
$$ y=10-\frac92(1-\cos 6x)=10-\frac92+\frac92\cos 6x=\frac{11}{2}+\frac92\cos 6x. $$
Поскольку $$-1\le \cos 6x\le 1,$$ то
$$ \frac{11}{2}-\frac92\le y\le \frac{11}{2}+\frac92, $$
$$ 1\le y\le 10. $$
Следовательно, $$E(y)=[1;10].$$
$$y=1-2|\cos x|.$$
Так как $$0\le |\cos x|\le 1,$$ то
$$ -2\le -2|\cos x|\le 0, $$
$$ -1\le 1-2|\cos x|\le 1. $$
Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$
$$y=\sin x+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$
Применим формулу суммы синусов:
$$ \sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}. $$
Тогда
$$ y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6} =\sqrt3\,\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). $$
Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то
$$ -\sqrt3\le y\le \sqrt3. $$
Следовательно, $$E(y)=[-\sqrt3;\sqrt3].$$