Упр.7 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

7. Найти множество значений функции:

1) $$y=2\sin^2 x-\cos^2 x$$;

2) $$y=1-8\cos^2 x\sin^2 x$$;

3) $$y=1+\frac{8\cos^2 x}{4}$$;

4) $$y=10-9\sin^2 3x$$;

5) $$y=1-2\lvert\cos x\rvert$$;

6) $$y=\sin x+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$.

Подробный ответ

$$y=2\sin^2 x-\cos 2x.$$
Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:
$$y=2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}-\cos 2x=1-\cos 2x-\cos 2x=1-2\cos 2x.$$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$-2\le -2\cos 2x\le 2,$$
$$-1\le 1-2\cos 2x\le 3.$$
Следовательно, $$E(y)=[-1;3].$$
$$y=1-8\cos^2 x\sin^2 x.$$
Преобразуем:
$$8\cos^2 x\sin^2 x=2(2\sin x\cos x)^2=2\sin^2 2x,$$
поэтому
$$y=1-2\sin^2 2x.$$
Так как $$0\le \sin^2 2x\le 1,$$ то
$$-2\le -2\sin^2 2x\le 0,$$
$$-1\le 1-2\sin^2 2x\le 1.$$
Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$
$$y=\frac{1+8\cos^2 x}{4}.$$
Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:
$$y=\frac{1+8\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}}{4} =\frac{1+4(1+\cos 2x)}{4} =\frac{5+4\cos 2x}{4} =\frac54+\cos 2x.$$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$\frac54-1\le y\le \frac54+1,$$
то есть
$$\frac14\le y\le \frac94.$$
Следовательно, $$E(y)=\left[\frac14;\frac94\right].$$
$$y=10-9\sin^2 3x.$$
Так как $$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2},$$ получаем:
$$y=10-\frac92(1-\cos 6x)=10-\frac92+\frac92\cos 6x=\frac{11}{2}+\frac92\cos 6x.$$
Поскольку $$-1\le \cos 6x\le 1,$$ то
$$\frac{11}{2}-\frac92\le y\le \frac{11}{2}+\frac92,$$
$$1\le y\le 10.$$
Следовательно, $$E(y)=[1;10].$$
$$y=1-2|\cos x|.$$
Так как $$0\le |\cos x|\le 1,$$ то
$$-2\le -2|\cos x|\le 0,$$
$$-1\le 1-2|\cos x|\le 1.$$
Следовательно, $$E(y)=[-1;1].$$
$$y=\sin x+\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$
Применим формулу суммы синусов:
$$\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}.$$
Тогда
$$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6} =\sqrt3\,\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$
Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то
$$-\sqrt3\le y\le \sqrt3.$$
Следовательно, $$E(y)=[-\sqrt3;\sqrt3].$$