Упр.699 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что при любом натуральном $$n > 1$$ число $$n^4 + 4$$ является составным.

Преобразуем выражение:

$$n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2.$$

Теперь разложим разность квадратов:

$$(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n).$$

Получили представление числа $$n^4+4$$ в виде произведения двух натуральных множителей. При $$n>1$$ оба множителя больше 1, значит число $$n^4+4$$ составное.

Ответ

$$n^4+4=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n),$$ поэтому при любом натуральном $$n>1$$ число $$n^4+4$$ является составным.