Упр.698 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что при любом простом $$p>3$$ число $$p^2-1$$ делится на $$24$$.

Рассмотрим число $$p^3-p=p(p^2-1)=p(p-1)(p+1).$$

Так как $$p>3$$ — простое число, то оно нечётное и не делится на $$3$$. Значит, числа $$p-1$$ и $$p+1$$ — два соседних чётных числа, поэтому одно из них делится на $$4$$, а другое делится на $$2$$. Следовательно, произведение $$(p-1)(p+1)$$ делится на $$8$$.

Кроме того, среди трёх последовательных чисел $$p-1,\ p,\ p+1$$ одно делится на $$3$$. Так как $$p$$ не делится на $$3$$, то на $$3$$ делится одно из чисел $$p-1$$ или $$p+1$$. Значит, произведение $$(p-1)(p+1)$$ делится на $$3$$.

Итак, $$(p-1)(p+1)$$ делится на $$8$$ и на $$3$$. Поскольку $$8$$ и $$3$$ взаимно просты, то произведение делится на $$24$$:

$$p^2-1=(p-1)(p+1):24.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$p^2-1$$ делится на $$24$$ при любом простом $$p>3$$.