Упр.684 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Пользуясь записью комплексных чисел в тригонометрической форме, найти $$\cos 15^\circ$$ и $$\sin 15^\circ$$.

Пусть

$$z=\cos 15^\circ+i\sin 15^\circ.$$

Тогда

$$z^2=\cos 30^\circ+i\sin 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i.$$

Обозначим

$$\cos 15^\circ=x,\qquad \sin 15^\circ=y.$$

Тогда

$$z=x+iy,$$

и

$$z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2xy\,i.$$

Сравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$$\begin{cases} x^2-y^2=\frac{\sqrt3}{2},\\ 2xy=\frac12. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y=\frac{1}{4x}.$$

Подставим в первое:

$$x^2-\frac{1}{16x^2}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Умножим на $$16x^2$$:

$$16x^4-8\sqrt3\,x^2-1=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$16t^2-8\sqrt3\,t-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(8\sqrt3)^2+4\cdot16=192+64=256,$$

$$t=\frac{8\sqrt3\pm16}{32}=\frac{\sqrt3\pm2}{4}.$$

Так как $$x^2>0$$, берём

$$x^2=\frac{\sqrt3+2}{4}.$$

Тогда

$$x=\sqrt{\frac{\sqrt3+2}{4}}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Из $$y=\frac{1}{4x}$$ получаем

$$y=\frac{1}{4\cdot \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}=\frac{1}{\sqrt6+\sqrt2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

Ответ

$$\cos 15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad \sin 15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$