Упр.680 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти корни уравнения $$z^{10}-z^5-992=0$$, действительные части которых отрицательны.

Положим $$t=z^5.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-t-992=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=1+4\cdot 992=3969=63^2,$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 63}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=-31,\qquad t_2=32.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$z^5=-31.$$

Представим число $$-31$$ в тригонометрической форме:

$$-31=31(\cos \pi+i\sin \pi).$$

Тогда корни пятой степени:

$$z=\sqrt[5]{31}\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{5}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{5}\right),\qquad k=0,1,2,3,4.$$

Из них отрицательную действительную часть имеют корни при $$k=1,2,3$$:

$$z_1=\sqrt[5]{31}\left(\cos \frac{3\pi}{5}+i\sin \frac{3\pi}{5}\right),$$

$$z_2=\sqrt[5]{31}\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-\sqrt[5]{31},$$

$$z_3=\sqrt[5]{31}\left(\cos \frac{7\pi}{5}+i\sin \frac{7\pi}{5}\right).$$

2) $$z^5=32.$$

Запишем:

$$32=32(\cos 0+i\sin 0).$$

Тогда

$$z=2\left(\cos \frac{2\pi k}{5}+i\sin \frac{2\pi k}{5}\right),\qquad k=0,1,2,3,4.$$

Отрицательную действительную часть имеют корни при $$k=2,3,4$$:

$$z_4=2\left(\cos \frac{4\pi}{5}+i\sin \frac{4\pi}{5}\right),$$

$$z_5=2\left(\cos \frac{6\pi}{5}+i\sin \frac{6\pi}{5}\right),$$

$$z_6=2\left(\cos \frac{8\pi}{5}+i\sin \frac{8\pi}{5}\right).$$

Ответ

$$2\left(\cos \frac{4\pi}{5}+i\sin \frac{4\pi}{5}\right),\; 2\left(\cos \frac{6\pi}{5}+i\sin \frac{6\pi}{5}\right),\; 2\left(\cos \frac{8\pi}{5}+i\sin \frac{8\pi}{5}\right),\; \sqrt[5]{31}\left(\cos \frac{3\pi}{5}+i\sin \frac{3\pi}{5}\right),\; -\sqrt[5]{31},\; \sqrt[5]{31}\left(\cos \frac{7\pi}{5}+i\sin \frac{7\pi}{5}\right).$$