Упр.679 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1. $$z=(\operatorname{tg}2-i)^4$$;
2. $$z=\left(\sin\frac{6\pi}{5}+i\left(1+\cos\frac{6\pi}{5}\right)\right)^5$$.

1) $$z=(\tg 2-i)^4$$

Найдём модуль и аргумент числа $$\tg 2-i$$:

$$r=\sqrt{\tg^2 2+(-1)^2}=\sqrt{\tg^2 2+1}=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 2}}=\frac{1}{\cos 2}.$$

Так как

$$\cos\varphi=\frac{\tg 2}{1/\cos 2}=\sin 2=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\right),$$

$$\sin\varphi=\frac{-1}{1/\cos 2}=-\cos 2=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\right),$$

то

$$\tg 2-i=\frac{1}{\cos 2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\right)\right).$$

Тогда

$$z=\frac{1}{\cos^4 2}\left(\cos\left(4\left(\frac{\pi}{2}-2\right)\right)+i\sin\left(4\left(\frac{3\pi}{2}+2\right)\right)\right).$$

Упростим аргументы:

$$z=\frac{1}{\cos^4 2}\left(\cos(2\pi-8)+i\sin(6\pi+8)\right) =\frac{1}{\cos^4 2}\left(\cos 8+i\sin 8\right).$$

2) $$z=\left(\sin\frac{6\pi}{5}+i\left(1+\cos\frac{6\pi}{5}\right)\right)^5$$

Найдём модуль числа внутри скобок:

$$r=\sqrt{\sin^2\frac{6\pi}{5}+\left(1+\cos\frac{6\pi}{5}\right)^2} =\sqrt{2+2\cos\frac{6\pi}{5}}.$$

Используем формулу $$1+\cos 2x=2\cos^2 x$$:

$$r=\sqrt{4\cos^2\frac{3\pi}{5}}=-2\cos\frac{3\pi}{5}.$$

Найдём аргумент:

$$\cos\varphi=\frac{\sin\frac{6\pi}{5}}{-2\cos\frac{3\pi}{5}}=\cos\frac{9\pi}{10},\qquad \sin\varphi=\frac{1+\cos\frac{6\pi}{5}}{-2\cos\frac{3\pi}{5}}=\sin\frac{9\pi}{10}.$$

Значит,

$$\sin\frac{6\pi}{5}+i\left(1+\cos\frac{6\pi}{5}\right) =-2\cos\frac{3\pi}{5}\left(\cos\frac{9\pi}{10}+i\sin\frac{9\pi}{10}\right).$$

Возводим в пятую степень:

$$z=\left(-2\cos\frac{3\pi}{5}\right)^5 \left(\cos\frac{45\pi}{10}+i\sin\frac{45\pi}{10}\right).$$

Так как $$\frac{45\pi}{10}=\frac{9\pi}{2}$$, то

$$z=-32\cos^5\frac{3\pi}{5}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

1) $$z=\frac{1}{\cos^4 2}\left(\cos 8+i\sin 8\right);$$

2) $$z=-32\cos^5\frac{3\pi}{5}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right).$$