Упр.678 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Решить уравнение: 1) $$z^2=-16i$$; 2) $$z^2=8+6i$$; 3) $$z^3=-125$$; 4) $$z^4=16i$$; 5) $$z^3-1=i$$; 6) $$z^5-1-i\sqrt{3}=0$$.
$$z^2=-16i.$$
Пусть $$z=x+yi$$. Тогда
$$(x+yi)^2=-16i$$
$$x^2+2xyi-y^2=-16i$$
Сравнивая действительную и мнимую части, получаем:
$$x^2-y^2=0,\qquad 2xy=-16$$
Из $$x^2=y^2$$ имеем $$y=\pm x$$. Тогда из $$2xy=-16$$ получаем $$xy=-8$$, значит
$$x=\pm 2\sqrt2,\qquad y=\mp 2\sqrt2$$
Следовательно,
$$z=\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i).$$
$$z^2=8+6i.$$
Пусть $$z=x+yi$$. Тогда
$$(x+yi)^2=8+6i$$
$$x^2+2xyi-y^2=8+6i$$
Отсюда
$$x^2-y^2=8,\qquad 2xy=6$$
То есть $$xy=3$$. Подставим $$y=\dfrac{3}{x}$$:
$$x^2-\frac{9}{x^2}=8$$
$$x^4-8x^2-9=0$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-8t-9=0$$
$$D=64+36=100,\qquad t=\frac{8\pm 10}{2}$$
$$t_1=9,\qquad t_2=-1$$
Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2=9$$, значит $$x=\pm 3$$. Тогда
$$y=\frac{3}{x}=\pm 1$$
Итак,
$$z=\pm(3+i).$$
$$z^3=-125.$$
Запишем число в тригонометрической форме:
$$-125=125(\cos \pi+i\sin \pi)$$
Тогда корни уравнения:
$$z_k=5\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{3}\right),\qquad k=0,1,2$$
Отсюда
$$z_0=5\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)=\frac52+\frac{5\sqrt3}{2}i,$$
$$z_1=5(\cos \pi+i\sin \pi)=-5,$$
$$z_2=5\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)=\frac52-\frac{5\sqrt3}{2}i.$$
$$z^4=16i.$$
Представим правую часть в тригонометрической форме:
$$16i=16\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right)$$
Тогда
$$z_k=2\left(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{4}+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3$$
Следовательно,
$$z_0=2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right),$$
$$z_1=2\left(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8}\right),$$
$$z_2=2\left(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8}\right),$$
$$z_3=2\left(\cos \frac{13\pi}{8}+i\sin \frac{13\pi}{8}\right).$$
$$z^3-1=i.$$
Тогда
$$z^3=1+i$$
Запишем число $$1+i$$ в тригонометрической форме:
$$1+i=\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)$$
Тогда
$$z_k=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{3}\right),\qquad k=0,1,2$$
Отсюда
$$z_0=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right),$$
$$z_1=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right),$$
$$z_2=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{12}+i\sin \frac{17\pi}{12}\right).$$
$$z^5-1-i\sqrt3=0.$$
Тогда
$$z^5=1+i\sqrt3$$
Представим правую часть в тригонометрической форме:
$$1+i\sqrt3=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)$$
Следовательно,
$$z_k=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{3}+2\pi k}{5}+i\sin \frac{\frac{\pi}{3}+2\pi k}{5}\right),\qquad k=0,1,2,3,4$$
Итак,
$$z_0=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{\pi}{15}+i\sin \frac{\pi}{15}\right),$$
$$z_1=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{15}+i\sin \frac{7\pi}{15}\right),$$
$$z_2=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{15}+i\sin \frac{13\pi}{15}\right),$$
$$z_3=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{19\pi}{15}+i\sin \frac{19\pi}{15}\right),$$
$$z_4=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right).$$
Ответ
1) $$z=\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i)$$;
2) $$z=\pm(3+i)$$;
3) $$z=\frac52+\frac{5\sqrt3}{2}i,\ -5,\ \frac52-\frac{5\sqrt3}{2}i$$;
4) $$z=2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right),\ 2\left(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8}\right),\ 2\left(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8}\right),\ 2\left(\cos \frac{13\pi}{8}+i\sin \frac{13\pi}{8}\right)$$;
5) $$z=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right),\ \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right),\ \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{12}+i\sin \frac{17\pi}{12}\right)$$;
6) $$z=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{\pi}{15}+i\sin \frac{\pi}{15}\right),\ \sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{15}+i\sin \frac{7\pi}{15}\right),\ \sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{15}+i\sin \frac{13\pi}{15}\right),\ \sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{19\pi}{15}+i\sin \frac{19\pi}{15}\right),\ \sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)$$.
