Упр.678 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) z2 = -16i;
2)z2 = 8 + 6i;
3) z3 = -125;
4) z4 = 16i;
5) z3 — 1 = i;
6) z5 — 1 — i корень 3 = 0.
$$z^2=-16i.$$
Пусть $$z=x+yi$$. Тогда
$$ (x+yi)^2=-16i $$
$$ x^2+2xyi-y^2=-16i $$
Сравнивая действительную и мнимую части, получаем:
$$ x^2-y^2=0,\qquad 2xy=-16 $$
Из $$x^2=y^2$$ имеем $$y=\pm x$$. Тогда из $$2xy=-16$$ получаем $$xy=-8$$, значит
$$ x=\pm 2\sqrt2,\qquad y=\mp 2\sqrt2 $$
Следовательно,
$$ z=\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i). $$
$$z^2=8+6i.$$
Пусть $$z=x+yi$$. Тогда
$$ (x+yi)^2=8+6i $$
$$ x^2+2xyi-y^2=8+6i $$
Отсюда
$$ x^2-y^2=8,\qquad 2xy=6 $$
То есть $$xy=3$$. Подставим $$y=\dfrac{3}{x}$$:
$$ x^2-\frac{9}{x^2}=8 $$
$$ x^4-8x^2-9=0 $$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2-8t-9=0 $$
$$ D=64+36=100,\qquad t=\frac{8\pm 10}{2} $$
$$ t_1=9,\qquad t_2=-1 $$
Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2=9$$, значит $$x=\pm 3$$. Тогда
$$ y=\frac{3}{x}=\pm 1 $$
Итак,
$$ z=\pm(3+i). $$
$$z^3=-125.$$
Запишем число в тригонометрической форме:
$$ -125=125(\cos \pi+i\sin \pi) $$
Тогда корни уравнения:
$$ z_k=5\left(\cos \frac{\pi+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi k}{3}\right),\qquad k=0,1,2 $$
Отсюда
$$ z_0=5\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)=\frac52+\frac{5\sqrt3}{2}i, $$
$$ z_1=5(\cos \pi+i\sin \pi)=-5, $$
$$ z_2=5\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)=\frac52-\frac{5\sqrt3}{2}i. $$
$$z^4=16i.$$
Представим правую часть в тригонометрической форме:
$$ 16i=16\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right) $$
Тогда
$$ z_k=2\left(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{4}+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{4}\right),\qquad k=0,1,2,3 $$
Следовательно,
$$ z_0=2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right), $$
$$ z_1=2\left(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8}\right), $$
$$ z_2=2\left(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8}\right), $$
$$ z_3=2\left(\cos \frac{13\pi}{8}+i\sin \frac{13\pi}{8}\right). $$
$$z^3-1=i.$$
Тогда
$$ z^3=1+i $$
Запишем число $$1+i$$ в тригонометрической форме:
$$ 1+i=\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right) $$
Тогда
$$ z_k=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{3}+i\sin \frac{\frac{\pi}{4}+2\pi k}{3}\right),\qquad k=0,1,2 $$
Отсюда
$$ z_0=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right), $$
$$ z_1=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right), $$
$$ z_2=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{12}+i\sin \frac{17\pi}{12}\right). $$
$$z^5-1-i\sqrt3=0.$$
Тогда
$$ z^5=1+i\sqrt3 $$
Представим правую часть в тригонометрической форме:
$$ 1+i\sqrt3=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right) $$
Следовательно,
$$ z_k=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{\frac{\pi}{3}+2\pi k}{5}+i\sin \frac{\frac{\pi}{3}+2\pi k}{5}\right),\qquad k=0,1,2,3,4 $$
Итак,
$$ z_0=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{\pi}{15}+i\sin \frac{\pi}{15}\right), $$
$$ z_1=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{15}+i\sin \frac{7\pi}{15}\right), $$
$$ z_2=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{15}+i\sin \frac{13\pi}{15}\right), $$
$$ z_3=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{19\pi}{15}+i\sin \frac{19\pi}{15}\right), $$
$$ z_4=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right). $$
Ответ
1) $$z=\pm(2\sqrt2-2\sqrt2\,i)$$;
2) $$z=\pm(3+i)$$;
3) $$z=\frac52+\frac{5\sqrt3}{2}i,\ -5,\ \frac52-\frac{5\sqrt3}{2}i$$;
4) $$z=2\left(\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right),\ 2\left(\cos \frac{5\pi}{8}+i\sin \frac{5\pi}{8}\right),\ 2\left(\cos \frac{9\pi}{8}+i\sin \frac{9\pi}{8}\right),\ 2\left(\cos \frac{13\pi}{8}+i\sin \frac{13\pi}{8}\right)$$;
5) $$z=\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i\sin \frac{\pi}{12}\right),\ \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right),\ \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{12}+i\sin \frac{17\pi}{12}\right)$$;
6) $$z=\sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{\pi}{15}+i\sin \frac{\pi}{15}\right),\ \sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{15}+i\sin \frac{7\pi}{15}\right),\ \sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{15}+i\sin \frac{13\pi}{15}\right),\ \sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{19\pi}{15}+i\sin \frac{19\pi}{15}\right),\ \sqrt[5]{2}\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)$$.
