Упр.676 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Решить систему уравнений:
   1) $$\begin{cases} z_1+2z_2=1+i,\\ 3z_1+iz_2=2-3i; \end{cases}$$
   2) $$\begin{cases} z_2+|z|=0,\\ z=-4z. \end{cases}$$

1. Решим систему

   $$\begin{cases} z_1+2z_2=1+i,\\ 3z_1+iz_2=2-3i. \end{cases}$$

   Из первого уравнения выразим $$z_1$$:

   $$z_1=1+i-2z_2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$3(1+i-2z_2)+iz_2=2-3i,$$

   $$3+3i-6z_2+iz_2=2-3i,$$

   $$z_2(i-6)=-1-6i.$$

   Тогда

   $$z_2=\frac{-1-6i}{i-6}=\frac{(1+6i)(6+i)}{(6-i)(6+i)}=\frac{37i}{37}=i.$$

   Найдём $$z_1$$:

   $$z_1=1+i-2i=1-i.$$

2. Решим систему

   $$\begin{cases} z^2+|z|=0,\\ \overline{z}=-4z. \end{cases}$$

   Пусть $$z=x+yi$$, тогда $$\overline{z}=x-yi$$ и $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$.

   Первое уравнение:

   $$(x+yi)^2+\sqrt{x^2+y^2}=0.$$

   Так как $$\sqrt{x^2+y^2}\ge 0$$, то равенство возможно только при

   $$x+yi=0.$$

   Следовательно,

   $$x=0,\quad y=0.$$

   Проверим второе уравнение:

   $$\overline{z}=-4z$$

   при $$z=0$$ выполняется.

Ответ

1) $$z_1=1-i,\ z_2=i.$$ 2) $$z=0.$$