Упр.676 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) система
z1+2z2=1+i,
3z1 + iz2=2-3i;
2) система
z2 + |z| = 0,
z= -4z.

1. Решим систему

   $$ \begin{cases} z_1+2z_2=1+i,\\ 3z_1+iz_2=2-3i. \end{cases} $$

   Из первого уравнения выразим $$z_1$$:

   $$z_1=1+i-2z_2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ 3(1+i-2z_2)+iz_2=2-3i, $$

   $$ 3+3i-6z_2+iz_2=2-3i, $$

   $$ z_2(i-6)=-1-6i. $$

   Тогда

   $$ z_2=\frac{-1-6i}{i-6}=\frac{(1+6i)(6+i)}{(6-i)(6+i)}=\frac{37i}{37}=i. $$

   Найдём $$z_1$$:

   $$ z_1=1+i-2i=1-i. $$

2. Решим систему

   $$ \begin{cases} z^2+|z|=0,\\ \overline{z}=-4z. \end{cases} $$

   Пусть $$z=x+yi$$, тогда $$\overline{z}=x-yi$$ и $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$.

   Первое уравнение:

   $$ (x+yi)^2+\sqrt{x^2+y^2}=0. $$

   Так как $$\sqrt{x^2+y^2}\ge 0$$, то равенство возможно только при

   $$ x+yi=0. $$

   Следовательно,

   $$ x=0,\quad y=0. $$

   Проверим второе уравнение:

   $$ \overline{z}=-4z $$

   при $$z=0$$ выполняется.

Ответ

1) $$z_1=1-i,\ z_2=i.$$ 2) $$z=0.$$