Упр.675 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Записать в тригонометрической и алгебраической формах комплексное число:

1) $$z=\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)-3$$;

2) $$z=(\sqrt{3}-i)^6$$;

3) $$z=\frac{1}{\cos 12+i\sin 12}$$;

4) $$z=\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)(1+\sqrt{3}i)^7$$.

1. $$z=\left(\frac12\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right)\right)^{-3}$$
   $$=2^3\left(\cos\left(-3\cdot\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(-3\cdot\frac{\pi}{12}\right)\right)$$
   $$=8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

   Так как
   $$\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2},$$
   то
   $$z=8\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\right)=4\sqrt2-4\sqrt2\,i.$$

2. $$z=(\sqrt3-i)^6.$$
   Представим число в тригонометрической форме:
   $$\sqrt3-i=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$

   Тогда
   $$z=2^6\left(\cos\left(-6\cdot\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-6\cdot\frac{\pi}{6}\right)\right)$$
   $$=64(\cos(-\pi)+i\sin(-\pi))=-64.$$

3. $$z=\frac{1}{(\cos12^\circ+i\sin12^\circ)^5}.$$
   Используем формулу:
   $$\frac{1}{\cos\alpha+i\sin\alpha}=\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha).$$
   Тогда
   $$z=(\cos12^\circ+i\sin12^\circ)^{-5}=\cos(-60^\circ)+i\sin(-60^\circ).$$

   Следовательно,
   $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

4. $$z=\frac{\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)(1+\sqrt3\,i)^7}{i}.$$

   Найдём тригонометрическую форму числа $$1+\sqrt3\,i$$:
   $$|1+\sqrt3\,i|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2,$$
   $$\arg(1+\sqrt3\,i)=\frac{\pi}{3},$$
   значит
   $$1+\sqrt3\,i=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда
   $$\left(1+\sqrt3\,i\right)^7=2^7\left(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3}\right)=128\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right).$$
   Также
   $$i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}.$$

   Поэтому
   $$z=128\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}\right)\right)$$
   $$=128\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=-128i.$$

Ответ

1) $$z=8\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=4\sqrt2-4\sqrt2\,i;$$
2) $$z=64(\cos(-\pi)+i\sin(-\pi))=-64;$$
3) $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i;$$
4) $$z=128\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=-128i.$$