Упр.672 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Определить, при каких действительных значениях $$x$$ и $$y$$ сумма $$\frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}$$ равна $$i$$.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}=i$$

Домножим дроби на сопряжённые знаменатели:

$$\frac{(x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)}{(3+i)(3-i)}=i$$

$$(3+i)(3-i)=9+1=10$$

Тогда

$$\frac{(x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)}{10}=i$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)=3x-3-xi+i+3y-3+yi-i$$

$$=(3x+3y-6)+(y-x)i$$

Получаем:

$$\frac{(3x+3y-6)+(y-x)i}{10}=i$$

Приравниваем действительную и мнимую части:

$$3x+3y-6=0$$

$$y-x=10$$

Из первого уравнения:

$$x+y=2$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=2,\\ y-x=10 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2y=12,\quad y=6$$

Тогда

$$x=2-6=-4$$

Ответ

$$x=-4,\quad y=6$$