Упр.672 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 672. Определить, при каких действительных значениях х и у сумма x-1/3+i + y-1/3-i равна i. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 672 118

Преобразуем левую часть:

$$ \frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}=i $$

Домножим дроби на сопряжённые знаменатели:

$$ \frac{(x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)}{(3+i)(3-i)}=i $$

$$ (3+i)(3-i)=9+1=10 $$

Тогда

$$ \frac{(x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)}{10}=i $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (x-1)(3-i)+(y-1)(3+i)=3x-3-xi+i+3y-3+yi-i $$

$$ =(3x+3y-6)+(y-x)i $$

Получаем:

$$ \frac{(3x+3y-6)+(y-x)i}{10}=i $$

Приравниваем действительную и мнимую части:

$$ 3x+3y-6=0 $$

$$ y-x=10 $$

Из первого уравнения:

$$ x+y=2 $$

Решим систему:

$$ \begin{cases} x+y=2,\\ y-x=10 \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$ 2y=12,\quad y=6 $$

Тогда

$$ x=2-6=-4 $$

Ответ

$$ x=-4,\quad y=6 $$