Упр.671 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти мнимую часть числа $$z$$, если:
   1) $$z=\frac{(2i+3)^2}{i-1}-\frac{i}{i+1}$$;
   2) $$z=\frac{18}{\sqrt{5-2i}}+\frac{3-4i^{11}}{i^9}$$.

1. $$z=\frac{(2i+3)^2}{i-1}-\frac{i}{i+1}$$

   Найдём квадрат:
   $$(2i+3)^2=4i^2+12i+9=-4+12i+9=5+12i$$

   Тогда
   $$z=\frac{5+12i}{i-1}-\frac{i}{i+1}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$z=\frac{(5+12i)(i+1)-i(i-1)}{(i-1)(i+1)}$$

   Числитель:
   $$(5+12i)(i+1)=5i+5+12i^2+12i=-7+17i$$
   $$i(i-1)=i^2-i=-1-i$$
   Тогда
   $$-7+17i-(-1-i)=-6+18i$$

   Знаменатель:
   $$(i-1)(i+1)=i^2-1=-2$$

   Получаем:
   $$z=\frac{-6+18i}{-2}=3-9i$$
   Мнимая часть числа равна $$-9$$.

2. $$z=\frac{18}{\sqrt5-2i}+\frac{3-4i^{11}}{i^9}$$

   Так как $$i^{11}=i^8\cdot i^3=-i$$, а $$i^9=i^8\cdot i=i,$$ то
   $$\frac{3-4i^{11}}{i^9}=\frac{3+4i}{i}$$

   Рационализуем первую дробь:
   $$\frac{18}{\sqrt5-2i}=\frac{18(\sqrt5+2i)}{(\sqrt5-2i)(\sqrt5+2i)}=\frac{18(\sqrt5+2i)}{5+4}=2\sqrt5+4i$$

   Вторую дробь упростим:
   $$\frac{3+4i}{i}=\frac{3}{i}+\frac{4i}{i}=-3i+4$$

   Тогда
   $$z=(2\sqrt5+4i)+(4-3i)=4+2\sqrt5+i$$
   Мнимая часть числа равна $$1$$.

Ответ

1) $$-9$$; 2) $$1$$.