Упр.670 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 670. Сравнить модули чисел 3+i19/2+i13 и 1+2i7/1+3i.

Найдём модули данных комплексных чисел.

Первое число:

$$z_1=\frac{3+i^{19}}{2+i^{13}}=\frac{3+i}{2+i},$$

так как $$i^{19}=i$$ и $$i^{13}=i.$$ Тогда

$$|z_1|=\frac{|3+i|}{|2+i|}=\frac{\sqrt{3^2+1^2}}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}.$$

Второе число:

$$z_2=\frac{1+2i^7}{1+3i}=\frac{1-2i}{1+3i},$$

так как $$i^7=-i.$$ Тогда

$$|z_2|=\frac{|1-2i|}{|1+3i|}=\frac{\sqrt{1^2+(-2)^2}}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Сравним:

$$\sqrt{2}>\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Значит, модуль первого числа больше модуля второго.

Ответ

$$\left|\frac{3+i^{19}}{2+i^{13}}\right|>\left|\frac{1+2i^7}{1+3i}\right|.$$