Упр.669 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Выполнить действия:

1. 1) $$\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}+i^{24}+i^{25}+i^{26}$$; 2) $$\frac{2-i^5}{2-i^7}+(i-1)^2$$.

1. $$\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}+i^{24}+i^{25}+i^{26}$$

   Используем формулы:
   $$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right), \quad 1-i=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$
   Тогда
   $$\frac{(1+i)^6}{(1-i)^4}=\frac{(2\sqrt{2})i^3}{(-2i)^2}=2i.$$

   Кроме того,
   $$i^{24}=1,\quad i^{25}=i,\quad i^{26}=-1.$$

   Следовательно,
   $$2i+1+i-1=3i.$$

2. $$\frac{2-i^5}{2-i^7}+(i-1)^2$$

   Так как
   $$i^5=i,\quad i^7=-i,$$
   то
   $$\frac{2-i^5}{2-i^7}=\frac{2-i}{2+i}.$$

   Преобразуем дробь:
   $$\frac{2-i}{2+i}=\frac{(2-i)^2}{(2+i)(2-i)}=\frac{4-4i+i^2}{4+1}=\frac{3-4i}{5}.$$

   Далее,
   $$(i-1)^2=i^2-2i+1=-1-2i+1=-2i.$$

   Тогда
   $$\frac{3-4i}{5}-2i=\frac{3-4i}{5}-\frac{10i}{5}=\frac{3-14i}{5}.$$

Ответ

1) $$3i$$
2) $$\frac{3-14i}{5}$$