Упр.66 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти промежутки убывания функции на заданном отрезке: 1) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right),\ \left[-\frac{\pi}{2},2\pi\right]$$; 2) $$y=-\sin x,\ \left[-\pi,2\pi\right]$$.

1) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x.$$

Функция $$-\cos x$$ убывает там, где $$\sin x>0$$, то есть на промежутках

$$\pi+2\pi n \le x \le 2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Пересечём это с отрезком $$\left[-\frac{\pi}{2};\,2\pi\right]$$:

$$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right]\cup\left[\pi;\,2\pi\right].$$

2) $$y=-\sin x.$$

Найдём, где функция убывает. Производная:

$$y’=-\cos x.$$

Убывание происходит при

$$-\cos x<0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x>0.$$

На отрезке $$[-\pi;\,2\pi]$$ это выполняется при

$$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2},\quad \frac{3\pi}{2}\le x\le 2\pi.$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{\pi}{2};\,0\right]\cup\left[\pi;\,2\pi\right].$$

2) $$\left[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2};\,2\pi\right].$$