Упр.655 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- 1) $$z^2=-16+8i$$; 2) $$36z^8-13z^4+1=0$$; 3) $$z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0$$; 4) $$z^3+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{2}z+1=0$$.
$$z^2=-16+8i.$$
Пусть $$z=x+yi$$, тогда
$$(x+yi)^2=-16+8i$$
$$x^2-y^2+2xyi=-16+8i$$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$\begin{cases} x^2-y^2=-16,\\ 2xy=8. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$xy=4$$, значит $$y=\dfrac{4}{x}$$. Подставим в первое:
$$x^2-\frac{16}{x^2}=-16$$
$$x^4+16x^2-16=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2+16t-16=0,$$
$$t=-8\pm 4\sqrt5.$$
Так как $$x^2\ge 0$$, берём только
$$x^2=-8+4\sqrt5=4(\sqrt5-2),$$
откуда
$$x=\pm 2\sqrt{\sqrt5-2}.$$
Тогда
$$y=\frac{4}{x}=\pm 2\sqrt{\sqrt5+2}.$$
Следовательно,
$$z=\pm 2\left(\sqrt{\sqrt5-2}+i\sqrt{\sqrt5+2}\right).$$
$$36z^8-13z^4+1=0.$$
Положим $$t=z^4$$. Тогда
$$36t^2-13t+1=0.$$
$$D=13^2-4\cdot 36\cdot 1=169-144=25.$$
$$t_1=\frac{13-5}{72}=\frac19,\qquad t_2=\frac{13+5}{72}=\frac14.$$
Значит,
$$z^4=\frac19 \quad \text{или} \quad z^4=\frac14.$$
Для $$z^4=\dfrac19$$ получаем корни:
$$z=\frac13,\ -\frac13,\ \frac{i}{3},\ -\frac{i}{3}.$$
Для $$z^4=\dfrac14$$ получаем корни:
$$z=\frac{1}{\sqrt2},\ -\frac{1}{\sqrt2},\ \frac{i}{\sqrt2},\ -\frac{i}{\sqrt2}.$$
$$z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0.$$
Группируем слагаемые:
$$(z-1)(z^3-z^2+z-1)=0$$
$$(z-1)^2(z^2+1)=0.$$
Отсюда
$$z=1 \quad \text{или} \quad z^2=-1.$$
$$z=\pm i.$$
$$z^3+\frac12 z^2+\frac12 z+1=0.$$
Разложим на множители:
$$(z+1)\left(z^2-\frac12 z+1\right)=0.$$
Отсюда
$$z=-1$$
или
$$z^2-\frac12 z+1=0.$$
Для квадратного уравнения:
$$D=\left(-\frac12\right)^2-4\cdot 1\cdot 1=\frac14-4=-\frac{15}{4}.$$
$$z=\frac{\frac12\pm \sqrt{-\frac{15}{4}}}{2} =\frac{1\pm i\sqrt{15}}{4}.$$
Ответ
1) $$z=\pm 2\left(\sqrt{\sqrt5-2}+i\sqrt{\sqrt5+2}\right);$$
2) $$z=\pm \frac13,\ \pm \frac{1}{\sqrt2},\ \pm \frac{i}{3},\ \pm \frac{i}{\sqrt2};$$
3) $$z=1,\ \pm i;$$
4) $$z=-1,\ \frac{1\pm i\sqrt{15}}{4}.$$
