Упр.655 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
2) 36z8 — 13z4 + 1 = 0;
3) z4 — 2z3 + 2z2 — 2z + 1 = 0;
4) z3 + 1/2*z2 + 1/2*z +1 = 0.
$$z^2=-16+8i.$$
Пусть $$z=x+yi$$, тогда
$$ (x+yi)^2=-16+8i $$
$$ x^2-y^2+2xyi=-16+8i $$
Приравниваем действительные и мнимые части:
$$ \begin{cases} x^2-y^2=-16,\\ 2xy=8. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$xy=4$$, значит $$y=\dfrac{4}{x}$$. Подставим в первое:
$$ x^2-\frac{16}{x^2}=-16 $$
$$ x^4+16x^2-16=0. $$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2+16t-16=0, $$
$$ t=-8\pm 4\sqrt5. $$
Так как $$x^2\ge 0$$, берём только
$$ x^2=-8+4\sqrt5=4(\sqrt5-2), $$
откуда
$$ x=\pm 2\sqrt{\sqrt5-2}. $$
Тогда
$$ y=\frac{4}{x}=\pm 2\sqrt{\sqrt5+2}. $$
Следовательно,
$$ z=\pm 2\left(\sqrt{\sqrt5-2}+i\sqrt{\sqrt5+2}\right). $$
$$36z^8-13z^4+1=0.$$
Положим $$t=z^4$$. Тогда
$$ 36t^2-13t+1=0. $$
$$ D=13^2-4\cdot 36\cdot 1=169-144=25. $$
$$ t_1=\frac{13-5}{72}=\frac19,\qquad t_2=\frac{13+5}{72}=\frac14. $$
Значит,
$$ z^4=\frac19 \quad \text{или} \quad z^4=\frac14. $$
Для $$z^4=\dfrac19$$ получаем корни:
$$ z=\frac13,\ -\frac13,\ \frac{i}{3},\ -\frac{i}{3}. $$
Для $$z^4=\dfrac14$$ получаем корни:
$$ z=\frac{1}{\sqrt2},\ -\frac{1}{\sqrt2},\ \frac{i}{\sqrt2},\ -\frac{i}{\sqrt2}. $$
$$z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0.$$
Группируем слагаемые:
$$ (z-1)(z^3-z^2+z-1)=0 $$
$$ (z-1)^2(z^2+1)=0. $$
Отсюда
$$ z=1 \quad \text{или} \quad z^2=-1. $$
$$ z=\pm i. $$
$$z^3+\frac12 z^2+\frac12 z+1=0.$$
Разложим на множители:
$$ (z+1)\left(z^2-\frac12 z+1\right)=0. $$
Отсюда
$$ z=-1 $$
или
$$ z^2-\frac12 z+1=0. $$
Для квадратного уравнения:
$$ D=\left(-\frac12\right)^2-4\cdot 1\cdot 1=\frac14-4=-\frac{15}{4}. $$
$$ z=\frac{\frac12\pm \sqrt{-\frac{15}{4}}}{2} =\frac{1\pm i\sqrt{15}}{4}. $$
Ответ
1) $$z=\pm 2\left(\sqrt{\sqrt5-2}+i\sqrt{\sqrt5+2}\right);$$
2) $$z=\pm \frac13,\ \pm \frac{1}{\sqrt2},\ \pm \frac{i}{3},\ \pm \frac{i}{\sqrt2};$$
3) $$z=1,\ \pm i;$$
4) $$z=-1,\ \frac{1\pm i\sqrt{15}}{4}.$$
