Упр.653 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все значения корня:

1. $$\sqrt[4]{1}$$;
2. $$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$$;
3. $$\sqrt[5]{1}$$;
4. $$\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}$$.

1. $$\sqrt[4]{1}$$

   Решаем уравнение $$z^4=1.$$ Представим число $$1$$ в тригонометрической форме:

   $$1=\cos 2\pi n+i\sin 2\pi n.$$

   Тогда

   $$z=\cos \frac{\pi n}{2}+i\sin \frac{\pi n}{2}, \quad n=0,1,2,3.$$

   Получаем:

   $$z_1=1,\quad z_2=i,\quad z_3=-1,\quad z_4=-i.$$

2. $$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$$

   Решаем уравнение $$z^3=-\frac{1}{27}.$$ Запишем число в тригонометрической форме:

   $$-\frac{1}{27}=\frac{1}{27}(\cos \pi+i\sin \pi).$$

   Тогда

   $$z=\frac{1}{3}\left(\cos \frac{\pi+2\pi n}{3}+i\sin \frac{\pi+2\pi n}{3}\right), \quad n=0,1,2.$$

   Находим корни:

   $$z_1=\frac{1}{3}\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}i,$$

   $$z_2=\frac{1}{3}\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=-\frac{1}{3},$$

   $$z_3=\frac{1}{3}\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}i.$$

3. $$\sqrt[5]{1}$$

   Решаем уравнение $$z^5=1.$$ Тогда

   $$z=\cos \frac{2\pi n}{5}+i\sin \frac{2\pi n}{5}, \quad n=0,1,2,3,4.$$

   Следовательно, все значения корня:

   $$z_1=1,$$

   $$z_2=\cos \frac{2\pi}{5}+i\sin \frac{2\pi}{5},$$

   $$z_3=\cos \frac{4\pi}{5}+i\sin \frac{4\pi}{5},$$

   $$z_4=\cos \frac{6\pi}{5}+i\sin \frac{6\pi}{5},$$

   $$z_5=\cos \frac{8\pi}{5}+i\sin \frac{8\pi}{5}.$$

4. $$\sqrt[4]{\sqrt{3}+i}$$

   Пусть $$z^4=\sqrt{3}+i.$$ Найдём модуль и аргумент числа:

   $$r=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2,$$

   $$\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi=\frac{1}{2}, \quad \varphi=\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$

   Следовательно,

   $$z=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{\pi+2\pi n}{24}+i\sin \frac{\pi+2\pi n}{24}\right), \quad n=0,1,2,3.$$

   Получаем корни:

   $$z_1=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{\pi}{24}+i\sin \frac{\pi}{24}\right),$$

   $$z_2=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{24}+i\sin \frac{13\pi}{24}\right),$$

   $$z_3=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{25\pi}{24}+i\sin \frac{25\pi}{24}\right),$$

   $$z_4=\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{37\pi}{24}+i\sin \frac{37\pi}{24}\right).$$

Ответ

1) $$1,\ i,\ -1,\ -i$$;
2) $$-\frac{1}{3},\ \frac{1}{6}\pm \frac{\sqrt{3}}{6}i$$;
3) $$1,\ \cos \frac{2\pi}{5}+i\sin \frac{2\pi}{5},\ \cos \frac{4\pi}{5}+i\sin \frac{4\pi}{5},\ \cos \frac{6\pi}{5}+i\sin \frac{6\pi}{5},\ \cos \frac{8\pi}{5}+i\sin \frac{8\pi}{5}$$;
4) $$\sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{\pi}{24}+i\sin \frac{\pi}{24}\right),\ \sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{24}+i\sin \frac{13\pi}{24}\right),\ \sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{25\pi}{24}+i\sin \frac{25\pi}{24}\right),\ \sqrt[4]{2}\left(\cos \frac{37\pi}{24}+i\sin \frac{37\pi}{24}\right)$$