Упр.652 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   1) $$z^2=-5+12i$$;
   2) $$z^2=-3-4i$$;
   3) $$z^6=1$$;
   4) $$z^6=-1$$;
   5) $$z^6-7z^3-8=0$$.

1. $$z^2=-5+12i.$$

   Пусть $$z=x+yi$$, тогда

   $$(x+yi)^2=-5+12i$$
   $$x^2-y^2+2xyi=-5+12i$$
   $$\begin{cases} x^2-y^2=-5,\\ 2xy=12. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$xy=6$$, значит $$y=\dfrac{6}{x}$$. Подставим в первое:

   $$x^2-\frac{36}{x^2}=-5$$
   $$x^4+5x^2-36=0.$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2+5t-36=0$$
   $$D=25+144=169$$
   $$t_1=\frac{-5+13}{2}=4,\qquad t_2=\frac{-5-13}{2}=-9.$$

   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2=4$$, откуда $$x=\pm 2$$. Тогда

   $$y=\frac{6}{x}=\pm 3.$$

   Следовательно,

   $$z=2+3i,\qquad z=-2-3i.$$

2. $$z^2=-3-4i.$$

   Пусть $$z=x+yi$$. Тогда

   $$(x+yi)^2=-3-4i$$
   $$x^2-y^2+2xyi=-3-4i$$
   $$\begin{cases} x^2-y^2=-3,\\ 2xy=-4. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$xy=-2$$, значит $$y=-\dfrac{2}{x}$$. Подставим:

   $$x^2-\frac{4}{x^2}=-3$$
   $$x^4+3x^2-4=0.$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2+3t-4=0$$
   $$D=9+16=25$$
   $$t_1=\frac{-3+5}{2}=1,\qquad t_2=\frac{-3-5}{2}=-4.$$

   Берём $$x^2=1$$, значит $$x=\pm 1$$, а тогда $$y=\mp 2$$. Получаем

   $$z=1-2i,\qquad z=-1+2i.$$

3. $$z^6=1.$$

   Положим $$w=z^3$$. Тогда

   $$w^2=1$$
   $$w=\pm 1.$$

   1) Если $$z^3=1$$, то

   $$z^3-1=0$$
   $$(z-1)(z^2+z+1)=0.$$

   Отсюда $$z=1$$ или

   $$z^2+z+1=0,\qquad D=1-4=-3,$$
   $$z=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$

   2) Если $$z^3=-1$$, то

   $$z^3+1=0$$
   $$(z+1)(z^2-z+1)=0.$$

   Отсюда $$z=-1$$ или

   $$z^2-z+1=0,\qquad D=1-4=-3,$$
   $$z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$

4. $$z^6=-1.$$

   Положим $$w=z^3$$. Тогда

   $$w^2=-1$$
   $$w=\pm i.$$

   1) Если $$z^3=i$$, то

   $$z^3-i=0$$
   $$(z-i)(z^2+iz-1)=0.$$

   Отсюда $$z=i$$ или

   $$z^2+iz-1=0,\qquad D=i^2+4=3,$$
   $$z=\frac{-i\pm \sqrt{3}}{2}.$$

   2) Если $$z^3=-i$$, то

   $$z^3+i=0$$
   $$(z+i)(z^2-iz-1)=0.$$

   Отсюда $$z=-i$$ или

   $$z^2-iz-1=0,\qquad D=(-i)^2+4=3,$$
   $$z=\frac{i\pm \sqrt{3}}{2}.$$

5. $$z^6-7z^3-8=0.$$

   Положим $$w=z^3$$. Тогда

   $$w^2-7w-8=0$$
   $$(w-8)(w+1)=0.$$

   Значит,

   $$z^3=8 \quad \text{или} \quad z^3=-1.$$

   Если $$z^3=8$$, то

   $$z=2,\qquad z=-1\pm i\sqrt{3}.$$

   Если $$z^3=-1$$, то

   $$z=-1,\qquad z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ

1) $$z=2+3i,\,-2-3i$$;
2) $$z=1-2i,\,-1+2i$$;
3) $$z=1,\,-1,\;\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$$;
4) $$z=i,\,-i,\;\dfrac{-i\pm \sqrt{3}}{2},\;\dfrac{i\pm \sqrt{3}}{2}$$;
5) $$z=2,\,-1\pm i\sqrt{3},\,-1,\;\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$$.