Упр.652 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) z2 = -5 + 12i;
2) z2 = -3 — 4i;
3) z6=1;
4) z6 = -1;
5) z6 — 7z3-8 = 0.

1. $$z^2=-5+12i.$$

   Пусть $$z=x+yi$$, тогда

   $$ (x+yi)^2=-5+12i $$
   $$ x^2-y^2+2xyi=-5+12i $$
   $$ \begin{cases} x^2-y^2=-5,\\ 2xy=12. \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$xy=6$$, значит $$y=\dfrac{6}{x}$$. Подставим в первое:

   $$ x^2-\frac{36}{x^2}=-5 $$
   $$ x^4+5x^2-36=0. $$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

   $$ t^2+5t-36=0 $$
   $$ D=25+144=169 $$
   $$ t_1=\frac{-5+13}{2}=4,\qquad t_2=\frac{-5-13}{2}=-9. $$

   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2=4$$, откуда $$x=\pm 2$$. Тогда

   $$ y=\frac{6}{x}=\pm 3. $$

   Следовательно,

   $$ z=2+3i,\qquad z=-2-3i. $$

2. $$z^2=-3-4i.$$

   Пусть $$z=x+yi$$. Тогда

   $$ (x+yi)^2=-3-4i $$
   $$ x^2-y^2+2xyi=-3-4i $$
   $$ \begin{cases} x^2-y^2=-3,\\ 2xy=-4. \end{cases} $$

   Из второго уравнения $$xy=-2$$, значит $$y=-\dfrac{2}{x}$$. Подставим:

   $$ x^2-\frac{4}{x^2}=-3 $$
   $$ x^4+3x^2-4=0. $$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$ t^2+3t-4=0 $$
   $$ D=9+16=25 $$
   $$ t_1=\frac{-3+5}{2}=1,\qquad t_2=\frac{-3-5}{2}=-4. $$

   Берём $$x^2=1$$, значит $$x=\pm 1$$, а тогда $$y=\mp 2$$. Получаем

   $$ z=1-2i,\qquad z=-1+2i. $$

3. $$z^6=1.$$

   Положим $$w=z^3$$. Тогда

   $$ w^2=1 $$
   $$ w=\pm 1. $$

   1) Если $$z^3=1$$, то

   $$ z^3-1=0 $$
   $$ (z-1)(z^2+z+1)=0. $$

   Отсюда $$z=1$$ или

   $$ z^2+z+1=0,\qquad D=1-4=-3, $$
   $$ z=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}. $$

   2) Если $$z^3=-1$$, то

   $$ z^3+1=0 $$
   $$ (z+1)(z^2-z+1)=0. $$

   Отсюда $$z=-1$$ или

   $$ z^2-z+1=0,\qquad D=1-4=-3, $$
   $$ z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}. $$

4. $$z^6=-1.$$

   Положим $$w=z^3$$. Тогда

   $$ w^2=-1 $$
   $$ w=\pm i. $$

   1) Если $$z^3=i$$, то

   $$ z^3-i=0 $$
   $$ (z-i)(z^2+iz-1)=0. $$

   Отсюда $$z=i$$ или

   $$ z^2+iz-1=0,\qquad D=i^2+4=3, $$
   $$ z=\frac{-i\pm \sqrt{3}}{2}. $$

   2) Если $$z^3=-i$$, то

   $$ z^3+i=0 $$
   $$ (z+i)(z^2-iz-1)=0. $$

   Отсюда $$z=-i$$ или

   $$ z^2-iz-1=0,\qquad D=(-i)^2+4=3, $$
   $$ z=\frac{i\pm \sqrt{3}}{2}. $$

5. $$z^6-7z^3-8=0.$$

   Положим $$w=z^3$$. Тогда

   $$ w^2-7w-8=0 $$
   $$ (w-8)(w+1)=0. $$

   Значит,

   $$ z^3=8 \quad \text{или} \quad z^3=-1. $$

   Если $$z^3=8$$, то

   $$ z=2,\qquad z=-1\pm i\sqrt{3}. $$

   Если $$z^3=-1$$, то

   $$ z=-1,\qquad z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}. $$

Ответ

1) $$z=2+3i,\,-2-3i$$;
2) $$z=1-2i,\,-1+2i$$;
3) $$z=1,\,-1,\;\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2},\;\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$$;
4) $$z=i,\,-i,\;\dfrac{-i\pm \sqrt{3}}{2},\;\dfrac{i\pm \sqrt{3}}{2}$$;
5) $$z=2,\,-1\pm i\sqrt{3},\,-1,\;\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$$.