Упр.651 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень:

$$z_1=\frac{3-2i}{2-i}$$;
$$z_1=\frac{4-i}{-1+i}$$.

Подробный ответ

Если дан корень $$z_1=a+bi,$$ то при действительных коэффициентах вторым корнем будет сопряжённое число $$z_2=a-bi.$$ Тогда искомое уравнение составляем по формуле

$$\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)=0.$$

$$z_1=\frac{3-2i}{2-i}=\frac{(3-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{6+3i-4i-2i^2}{4+1}=\frac{8-i}{5}=\frac85-\frac15 i.$$
Тогда $$z_2=\frac85+\frac15 i.$$
Составим уравнение:
$$\left(z-\frac85+\frac15 i\right)\left(z-\frac85-\frac15 i\right)=0,$$
$$\left(z-\frac85\right)^2+\frac1{25}=0,$$
$$z^2-\frac{16}{5}z+\frac{64}{25}+\frac1{25}=0,$$
$$z^2-\frac{16}{5}z+\frac{13}{5}=0.$$
Умножим на $$5$$:
$$5z^2-16z+13=0.$$
$$z_1=\frac{4-i}{-1+i}=\frac{(4-i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{-4-4i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{-5-3i}{2}=-\frac52-\frac32 i.$$
Тогда $$z_2=-\frac52+\frac32 i.$$
Составим уравнение:
$$\left(z+\frac52+\frac32 i\right)\left(z+\frac52-\frac32 i\right)=0,$$
$$\left(z+\frac52\right)^2+\frac94=0,$$
$$z^2+5z+\frac{25}{4}+\frac94=0,$$
$$z^2+5z+\frac{17}{2}=0.$$
Умножим на $$2$$:
$$2z^2+10z+17=0.$$