Упр.651 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) z1=3-2i/2-i;
2) z1=4-i/-1+i.

Если дан корень $$z_1=a+bi,$$ то при действительных коэффициентах вторым корнем будет сопряжённое число $$z_2=a-bi.$$ Тогда искомое уравнение составляем по формуле

$$\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)=0.$$

1. $$z_1=\frac{3-2i}{2-i}=\frac{(3-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{6+3i-4i-2i^2}{4+1}=\frac{8-i}{5}=\frac85-\frac15 i.$$

   Тогда $$z_2=\frac85+\frac15 i.$$

   Составим уравнение:

   $$\left(z-\frac85+\frac15 i\right)\left(z-\frac85-\frac15 i\right)=0,$$

   $$\left(z-\frac85\right)^2+\frac1{25}=0,$$

   $$z^2-\frac{16}{5}z+\frac{64}{25}+\frac1{25}=0,$$

   $$z^2-\frac{16}{5}z+\frac{13}{5}=0.$$

   Умножим на $5$:

   $$5z^2-16z+13=0.$$

2. $$z_1=\frac{4-i}{-1+i}=\frac{(4-i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{-4-4i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{-5-3i}{2}=-\frac52-\frac32 i.$$

   Тогда $$z_2=-\frac52+\frac32 i.$$

   Составим уравнение:

   $$\left(z+\frac52+\frac32 i\right)\left(z+\frac52-\frac32 i\right)=0,$$

   $$\left(z+\frac52\right)^2+\frac94=0,$$

   $$z^2+5z+\frac{25}{4}+\frac94=0,$$

   $$z^2+5z+\frac{17}{2}=0.$$

   Умножим на $2$:

   $$2z^2+10z+17=0.$$

Ответ

1) $$5z^2-16z+13=0$$; 2) $$2z^2+10z+17=0$$.