Упр.65 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти множество значений функции $$y=\sin x$$, если $$x$$ принадлежит промежутку:

1. $$\left[\frac{\pi}{6};\pi\right]$$;
2. $$\left[\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]$$.

1) При $$x \in \left[\frac{\pi}{6}; \pi\right]$$ функция $$y=\sin x$$ принимает значения от $$0$$ до $$1$$, так как

$$\sin \frac{\pi}{6}=\frac12,\quad \sin \frac{\pi}{2}=1,\quad \sin \pi=0.$$

На этом промежутке наибольшее значение равно $$1$$, а наименьшее — $$0$$. Значит,

$$E(y)=[0;1].$$

2) При $$x \in \left[\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]$$ имеем

$$\sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin \pi=0,\quad \sin \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Наибольшее значение функции на данном промежутке равно $$\frac{\sqrt2}{2}$$, а наименьшее — $$-\frac{\sqrt2}{2}$$. Следовательно,

$$E(y)=\left[-\frac{\sqrt2}{2}; \frac{\sqrt2}{2}\right].$$

Ответ

1) $$[0;1]$$; 2) $$\left[-\frac{\sqrt2}{2}; \frac{\sqrt2}{2}\right].$$