Упр.649 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Разложить квадратный трёхчлен на множители: 1) $$z^2-4z+5$$; 2) $$z^2+4z+13$$; 3) $$z^2+2z+4$$; 4) $$z^2-6z+11$$.
$$z^2-4z+5=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4.$$
Тогда
$$z=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{4\pm 2i}{2}=2\pm i.$$
Следовательно,
$$z^2-4z+5=(z-(2+i))(z-(2-i))=(z-2-i)(z-2+i).$$
$$z^2+4z+13=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 13=16-52=-36.$$
$$z=\frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i.$$
Значит,
$$z^2+4z+13=(z-(-2+3i))(z-(-2-3i))=(z+2-3i)(z+2+3i).$$
$$z^2+2z+4=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12.$$
$$z=\frac{-2\pm\sqrt{-12}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}\,i}{2}=-1\pm \sqrt{3}\,i.$$
Следовательно,
$$z^2+2z+4=(z-(-1+\sqrt{3}\,i))(z-(-1-\sqrt{3}\,i))=(z+1-\sqrt{3}\,i)(z+1+\sqrt{3}\,i).$$
$$z^2-6z+11=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 11=36-44=-8.$$
$$z=\frac{6\pm\sqrt{-8}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{2}\,i}{2}=3\pm \sqrt{2}\,i.$$
Тогда
$$z^2-6z+11=(z-(3+\sqrt{2}\,i))(z-(3-\sqrt{2}\,i))=(z-3-\sqrt{2}\,i)(z-3+\sqrt{2}\,i).$$
Ответ
1) $$z^2-4z+5=(z-2-i)(z-2+i);$$
2) $$z^2+4z+13=(z+2-3i)(z+2+3i);$$
3) $$z^2+2z+4=(z+1-\sqrt{3}\,i)(z+1+\sqrt{3}\,i);$$
4) $$z^2-6z+11=(z-3-\sqrt{2}\,i)(z-3+\sqrt{2}\,i).$$
