Упр.648 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) z4-3z2-4 = 0;
2) z4 + 15z2- 16 = 0.

1) Решим уравнение $$z^4-3z^2-4=0.$$

Положим $$t=z^2.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-3t-4=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)=0.$$

Отсюда

$$t=4 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

Возвращаясь к переменной $$z$$, имеем:

$$z^2=4 \Rightarrow z=\pm 2,$$

$$z^2=-1 \Rightarrow z=\pm i.$$

Следовательно, решения первого уравнения:

$$z=\pm 2,\ \pm i.$$

2) Решим уравнение $$z^4+15z^2-16=0.$$

Положим $$t=z^2.$$ Тогда:

$$t^2+15t-16=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-1\right)\left(t+16\right)=0.$$

Отсюда

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-16.$$

Тогда

$$z^2=1 \Rightarrow z=\pm 1,$$

$$z^2=-16 \Rightarrow z=\pm 4i.$$

Следовательно, решения второго уравнения:

$$z=\pm 1,\ \pm 4i.$$

Ответ

1) $$z=\pm 2,\ \pm i.$$

2) $$z=\pm 1,\ \pm 4i.$$