Упр.647 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Составить приведённое квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень, и проверить ответ, решив полученное уравнение:

$$z_1=2+\frac{1}{2}i$$;
$$z_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$;
$$z_1=\sqrt{2}-\sqrt{5}i$$;
$$z_1=-\sqrt{6}+\sqrt{3}i$$.

Подробный ответ

Если корень уравнения комплексный и коэффициенты действительные, то вместе с ним должен быть и сопряжённый корень.
1) $$z_1=2+\frac12 i,\quad z_2=2-\frac12 i$$
Составим уравнение:
$$\left(z-2-\frac12 i\right)\left(z-2+\frac12 i\right)=0.$$
Раскроем скобки:
$$(z-2)^2-\left(\frac12 i\right)^2=0$$
$$z^2-4z+4+\frac14=0$$
$$z^2-4z+\frac{17}{4}=0.$$
Проверка:
$$D=16-4\cdot \frac{17}{4}=16-17=-1,$$
$$z=\frac{4\pm \sqrt{-1}}{2}=\frac{4\pm i}{2}=2\pm \frac12 i.$$
2) $$z_1=\frac12-\frac12 i,\quad z_2=\frac12+\frac12 i$$
Составим уравнение:
$$\left(z-\frac12+\frac12 i\right)\left(z-\frac12-\frac12 i\right)=0.$$
Раскроем скобки:
$$\left(z-\frac12\right)^2-\left(\frac12 i\right)^2=0$$
$$z^2-z+\frac14+\frac14=0$$
$$z^2-z+\frac12=0.$$
Проверка:
$$D=1-4\cdot \frac12=1-2=-1,$$
$$z=\frac{1\pm \sqrt{-1}}{2}=\frac{1\pm i}{2}=\frac12\pm \frac12 i.$$
3) $$z_1=\sqrt2-\sqrt5\,i,\quad z_2=\sqrt2+\sqrt5\,i$$
Составим уравнение:
$$\left(z-\sqrt2+\sqrt5\,i\right)\left(z-\sqrt2-\sqrt5\,i\right)=0.$$
Раскроем скобки:
$$(z-\sqrt2)^2-(\sqrt5\,i)^2=0$$
$$z^2-2\sqrt2\,z+2+5=0$$
$$z^2-2\sqrt2\,z+7=0.$$
Проверка:
$$D=(2\sqrt2)^2-4\cdot 7=8-28=-20,$$
$$z=\frac{2\sqrt2\pm \sqrt{-20}}{2} =\frac{2\sqrt2\pm 2\sqrt5\,i}{2} =\sqrt2\pm \sqrt5\,i.$$
4) $$z_1=-\sqrt6+\sqrt3\,i,\quad z_2=-\sqrt6-\sqrt3\,i$$
Составим уравнение:
$$\left(z+\sqrt6-\sqrt3\,i\right)\left(z+\sqrt6+\sqrt3\,i\right)=0.$$
Раскроем скобки:
$$(z+\sqrt6)^2-(\sqrt3\,i)^2=0$$
$$z^2+2\sqrt6\,z+6+3=0$$
$$z^2+2\sqrt6\,z+9=0.$$
Проверка:
$$D=(2\sqrt6)^2-4\cdot 9=24-36=-12,$$
$$z=\frac{-2\sqrt6\pm \sqrt{-12}}{2} =\frac{-2\sqrt6\pm 2\sqrt3\,i}{2} =-\sqrt6\pm \sqrt3\,i.$$