Упр.642 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) sinx + sin2x + … + sinnx = sin nx/2 * sin(n+1)x/2/sinx/2;
2) 1 + cosx + cos2x + … + cos nx = cos nx/2* sin(n+1)x/2/sinx/2.

Пусть

$$S=\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx.$$

Умножим сумму на $$\sin \frac{x}{2}$$:

$$ S\sin \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}\sin x+\sin \frac{x}{2}\sin 2x+\cdots+\sin \frac{x}{2}\sin nx. $$

Используем формулу произведения в сумму:

$$ \sin \frac{x}{2}\sin kx = \frac{\cos\left(kx-\frac{x}{2}\right)-\cos\left(kx+\frac{x}{2}\right)}{2}. $$

Тогда

$$ 2S\sin \frac{x}{2} = \bigl(\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\bigr) +\bigl(\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{5x}{2}\bigr) +\cdots +\bigl(\cos \frac{(2n-1)x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}\bigr). $$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, и получаем

$$ 2S\sin \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}. $$

По формуле

$$ \cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2} $$

имеем

$$ \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2} = 2\sin \frac{nx}{2}\sin \frac{(n+1)x}{2}. $$

Следовательно,

$$ S=\frac{\sin \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}. $$

Теперь докажем второе равенство. Пусть

$$S=1+\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx.$$

Умножим на $$\sin \frac{x}{2}$$:

$$ S\sin \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2}\cos x+\sin \frac{x}{2}\cos 2x+\cdots+\sin \frac{x}{2}\cos nx. $$

Используем формулу

$$ \sin \frac{x}{2}\cos kx = \frac{\sin\left(kx+\frac{x}{2}\right)+\sin\left(\frac{x}{2}-kx\right)}{2}. $$

После раскрытия суммы получаем сокращение промежуточных членов, и остается

$$ 2S\sin \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}+\sin \frac{(2n+1)x}{2}. $$

По формуле

$$ \sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} $$

получаем

$$ \sin \frac{x}{2}+\sin \frac{(2n+1)x}{2} = 2\sin \frac{(n+1)x}{2}\cos \frac{nx}{2}. $$

Значит,

$$ S=\frac{\cos \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}. $$

Оба равенства доказаны.

Ответ

$$ \sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx = \frac{\sin \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}, $$
$$ 1+\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx = \frac{\cos \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}. $$