Упр.642 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать равенства при $$x\ne 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$:
   
   1) $$\sin x+\sin 2x+\dots+\sin nx=\frac{\sin\frac{nx}{2}\cdot\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}};$$
   
   2) $$1+\cos x+\cos 2x+\dots+\cos nx=\frac{\cos\frac{nx}{2}\cdot\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}.$$

Пусть

$$S=\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx.$$

Умножим сумму на $$\sin \frac{x}{2}$$:

$$S\sin \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}\sin x+\sin \frac{x}{2}\sin 2x+\cdots+\sin \frac{x}{2}\sin nx.$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin \frac{x}{2}\sin kx = \frac{\cos\left(kx-\frac{x}{2}\right)-\cos\left(kx+\frac{x}{2}\right)}{2}.$$

Тогда

$$2S\sin \frac{x}{2} = \bigl(\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\bigr) +\bigl(\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{5x}{2}\bigr) +\cdots +\bigl(\cos \frac{(2n-1)x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}\bigr).$$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, и получаем

$$2S\sin \frac{x}{2} = \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}.$$

По формуле

$$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$

имеем

$$\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2} = 2\sin \frac{nx}{2}\sin \frac{(n+1)x}{2}.$$

Следовательно,

$$S=\frac{\sin \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Теперь докажем второе равенство. Пусть

$$S=1+\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx.$$

Умножим на $$\sin \frac{x}{2}$$:

$$S\sin \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2}\cos x+\sin \frac{x}{2}\cos 2x+\cdots+\sin \frac{x}{2}\cos nx.$$

Используем формулу

$$\sin \frac{x}{2}\cos kx = \frac{\sin\left(kx+\frac{x}{2}\right)+\sin\left(\frac{x}{2}-kx\right)}{2}.$$

После раскрытия суммы получаем сокращение промежуточных членов, и остается

$$2S\sin \frac{x}{2} = \sin \frac{x}{2}+\sin \frac{(2n+1)x}{2}.$$

По формуле

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$

получаем

$$\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{(2n+1)x}{2} = 2\sin \frac{(n+1)x}{2}\cos \frac{nx}{2}.$$

Значит,

$$S=\frac{\cos \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$

Оба равенства доказаны.

Ответ

$$\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx = \frac{\sin \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}},$$
$$1+\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx = \frac{\cos \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}.$$