Упр.641 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти сумму:
   1) $$\sin x+\sin 3x+\sin 5x+\dots+\sin(2n-1)x$$, $$x\ne\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$;
   2) $$\cos x+\cos 3x+\cos 5x+\dots+\cos(2n-1)x$$, $$x\ne\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$.

1. Пусть

   $$S=\sin x+\sin 3x+\sin 5x+\dots+\sin(2n-1)x,\qquad x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

   Умножим сумму на $$\sin x$$:

   $$S\sin x=\sin x\sin x+\sin x\sin 3x+\sin x\sin 5x+\dots+\sin x\sin(2n-1)x.$$

   Используем формулу

   $$\sin A\sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2}.$$

   Тогда

   $$2S\sin x= (\cos 0-\cos 2x)+(\cos 2x-\cos 4x)+\dots+(\cos(2n-2)x-\cos 2nx).$$

   Все промежуточные слагаемые сокращаются:

   $$2S\sin x=\cos 0-\cos 2nx=1-\cos 2nx.$$

   По формуле $$1-\cos 2nx=2\sin^2 nx$$ получаем

   $$2S\sin x=2\sin^2 nx,$$

   откуда

   $$S=\frac{\sin^2 nx}{\sin x}.$$

2. Пусть

   $$S=\cos x+\cos 3x+\cos 5x+\dots+\cos(2n-1)x,\qquad x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

   Умножим сумму на $$\sin x$$:

   $$S\sin x=\sin x\cos x+\sin x\cos 3x+\sin x\cos 5x+\dots+\sin x\cos(2n-1)x.$$

   Используем формулу

   $$\sin A\cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}.$$

   Тогда

   $$2S\sin x= (\sin 2x+\sin 0)+(\sin 4x-\sin 2x)+\dots+(\sin 2nx-\sin(2n-2)x).$$

   После сокращения получаем

   $$2S\sin x=\sin 2nx.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{\sin 2nx}{2\sin x}.$$

Ответ

1) $$\dfrac{\sin^2 nx}{\sin x}$$; 2) $$\dfrac{\sin 2nx}{2\sin x}$$.