Упр.641 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) sinx + sin3x + sin5x + … + sin(2n — 1)x, x =/ пи k, k принадлежит Z;
2) cosx + cos3x + cos5x + … + cos(2x — 1)x, x =/ пи k, k принадлежит Z.

1. Пусть

   $$S=\sin x+\sin 3x+\sin 5x+\dots+\sin(2n-1)x,\qquad x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

   Умножим сумму на $$\sin x$$:

   $$ S\sin x=\sin x\sin x+\sin x\sin 3x+\sin x\sin 5x+\dots+\sin x\sin(2n-1)x. $$

   Используем формулу

   $$\sin A\sin B=\frac{\cos(A-B)-\cos(A+B)}{2}.$$

   Тогда

   $$ 2S\sin x= (\cos 0-\cos 2x)+(\cos 2x-\cos 4x)+\dots+(\cos(2n-2)x-\cos 2nx). $$

   Все промежуточные слагаемые сокращаются:

   $$ 2S\sin x=\cos 0-\cos 2nx=1-\cos 2nx. $$

   По формуле $$1-\cos 2nx=2\sin^2 nx$$ получаем

   $$ 2S\sin x=2\sin^2 nx, $$

   откуда

   $$ S=\frac{\sin^2 nx}{\sin x}. $$

2. Пусть

   $$S=\cos x+\cos 3x+\cos 5x+\dots+\cos(2n-1)x,\qquad x\ne \pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

   Умножим сумму на $$\sin x$$:

   $$ S\sin x=\sin x\cos x+\sin x\cos 3x+\sin x\cos 5x+\dots+\sin x\cos(2n-1)x. $$

   Используем формулу

   $$\sin A\cos B=\frac{\sin(A+B)+\sin(A-B)}{2}.$$

   Тогда

   $$ 2S\sin x= (\sin 2x+\sin 0)+(\sin 4x-\sin 2x)+\dots+(\sin 2nx-\sin(2n-2)x). $$

   После сокращения получаем

   $$ 2S\sin x=\sin 2nx. $$

   Следовательно,

   $$ S=\frac{\sin 2nx}{2\sin x}. $$

Ответ

1) $$\dfrac{\sin^2 nx}{\sin x}$$; 2) $$\dfrac{\sin 2nx}{2\sin x}$$.