Упр.640 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать равенство (n — натуральное число): $$\left(\frac{1+i\operatorname{tg}\alpha}{1-i\operatorname{tg}\alpha}\right)^n=\frac{1+i\operatorname{tg}\alpha}{1-i\operatorname{tg}\alpha}.$$

Используем формулу Эйлера:

$$1+i\tg a=\frac{\cos a+i\sin a}{\cos a}, \qquad 1-i\tg a=\frac{\cos a-i\sin a}{\cos a}.$$

Тогда

$$\left(\frac{1+i\tg a}{1-i\tg a}\right)^n=\left(\frac{\cos a+i\sin a}{\cos a-i\sin a}\right)^n.$$

По формуле Муавра:

$$\left(\cos a+i\sin a\right)^n=\cos na+i\sin na,$$

$$\left(\cos a-i\sin a\right)^n=\cos na-i\sin na.$$

Следовательно,

$$\left(\frac{1+i\tg a}{1-i\tg a}\right)^n=\frac{\cos na+i\sin na}{\cos na-i\sin na}.$$

С другой стороны,

$$\frac{1+i\tg(na)}{1-i\tg(na)}=\frac{\frac{\cos na+i\sin na}{\cos na}}{\frac{\cos na-i\sin na}{\cos na}}=\frac{\cos na+i\sin na}{\cos na-i\sin na}.$$

Значит,

$$\left(\frac{1+i\tg a}{1-i\tg a}\right)^n=\frac{1+i\tg(na)}{1-i\tg(na)}.$$

Ответ

$$\left(\frac{1+i\tg a}{1-i\tg a}\right)^n=\frac{1+i\tg(na)}{1-i\tg(na)}.$$