Упр.64 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Найти все принадлежащие промежутку $$-\frac{3\pi}{2}\leq x\leq\pi$$ решения неравенства: 1) $$\sin 2x\geq-\frac{1}{2}$$; 2) $$\sin 3x<\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Решим неравенства по отдельности и затем пересечём полученные решения с промежутком $$-\frac{3\pi}{2}\le x\le \pi.$$
$$\sin 2x\ge -\frac12.$$
Значения синуса не меньше $$-\frac12$$ при
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 2x\le \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Делим на $$2$$:
$$-\frac{\pi}{12}+\pi n\le x\le \frac{7\pi}{12}+\pi n.$$
С учётом промежутка $$-\frac{3\pi}{2}\le x\le \pi$$ получаем:
$$x\in\left[-\frac{3\pi}{2},-\frac{17\pi}{12}\right]\cup\left[-\frac{13\pi}{12},-\frac{5\pi}{12}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{12},\pi\right].$$
$$\sin 3x<\frac{\sqrt3}{2}.$$
Синус меньше $$\frac{\sqrt3}{2}$$ при
$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<3x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Делим на $$3$$:
$$-\frac{4\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$
Пересечение с $$-\frac{3\pi}{2}\le x\le \pi$$ даёт:
$$x\in\left[-\frac{3\pi}{2},-\frac{11\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{10\pi}{9},-\frac{5\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{4\pi}{9},\frac{\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{9},\frac{7\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{8\pi}{9},\pi\right].$$
Ответ
1) $$x\in\left[-\frac{3\pi}{2},-\frac{17\pi}{12}\right]\cup\left[-\frac{13\pi}{12},-\frac{5\pi}{12}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{12},\frac{7\pi}{12}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{12},\pi\right].$$
2) $$x\in\left[-\frac{3\pi}{2},-\frac{11\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{10\pi}{9},-\frac{5\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{4\pi}{9},\frac{\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{2\pi}{9},\frac{7\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{8\pi}{9},\pi\right].$$
