Упр.639 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) cos 2a = cos2 a — sin2 a;
2) sin 2a = 2sin a cos a;
3) cos 3a = 4cos3 a — 3cos a;
4) sin 3a = 3sin a — 4 sin3 a.

Пусть $$z=\cos a+i\sin a.$$ Тогда по формуле Муавра

$$z^2=\cos 2a+i\sin 2a,$$

$$z^3=\cos 3a+i\sin 3a.$$

С другой стороны, раскроем степени бинома.

1)

$$ (\cos a+i\sin a)^2=\cos^2 a+2i\sin a\cos a+i^2\sin^2 a $$

$$ (\cos a+i\sin a)^2=\cos^2 a-\sin^2 a+i\,2\sin a\cos a. $$

Сравнивая действительные части, получаем

$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a.$$

2)

Из того же равенства сравним мнимые части:

$$\sin 2a=2\sin a\cos a.$$

3)

$$ (\cos a+i\sin a)^3=\cos^3 a+3i\cos^2 a\sin a+3i^2\cos a\sin^2 a+i^3\sin^3 a $$

$$ (\cos a+i\sin a)^3=\cos^3 a-3\cos a\sin^2 a+i\bigl(3\cos^2 a\sin a-\sin^3 a\bigr). $$

Сравнивая действительные части, имеем

$$\cos 3a=\cos^3 a-3\cos a\sin^2 a.$$

Так как $$\sin^2 a=1-\cos^2 a,$$ то

$$ \cos 3a=\cos^3 a-3\cos a(1-\cos^2 a)=4\cos^3 a-3\cos a. $$

4)

Сравнивая мнимые части, получаем

$$\sin 3a=3\cos^2 a\sin a-\sin^3 a.$$

Так как $$\cos^2 a=1-\sin^2 a,$$ то

$$ \sin 3a=3(1-\sin^2 a)\sin a-\sin^3 a=3\sin a-4\sin^3 a. $$

Ответ

$$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a,$$
$$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$
$$\cos 3a=4\cos^3 a-3\cos a,$$
$$\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a.$$