Упр.638 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Представить в тригонометрической форме число:
   1) $$\sin\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}$$;
   2) $$\sin a+i(1-\cos a)$$, $$0 3) $$(\operatorname{tg}1-i)^4$$;
   4) $$\frac{(1+i)^{2n+1}}{(1-i)^{2n-1}}$$, $$n\in\mathbb{N}$$.

1. $$\sin \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac12+\frac12 i$$

   Найдём модуль:
   $$r=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда
   $$\cos \varphi=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin \varphi=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt2}{2},$$
   значит, $$\varphi=\frac{\pi}{4}.$$

   Следовательно,
   $$\sin \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right).$$

2. $$z=\sin a+i(1-\cos a), \qquad 0<a<\frac{\pi}{2}.$$

   Найдём модуль:
   $$r=\sqrt{\sin^2 a+(1-\cos a)^2} =\sqrt{\sin^2 a+1-2\cos a+\cos^2 a} =\sqrt{2-2\cos a}.$$

   Используем формулу:
   $$2-2\cos a=4\sin^2 \frac{a}{2},$$
   поэтому
   $$r=2\sin \frac{a}{2}.$$

   Тогда
   $$\cos \varphi=\frac{\sin a}{2\sin \frac{a}{2}}=\frac{2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}{2\sin \frac{a}{2}}=\cos \frac{a}{2},$$
   $$\sin \varphi=\frac{1-\cos a}{2\sin \frac{a}{2}}=\frac{2\sin^2 \frac{a}{2}}{2\sin \frac{a}{2}}=\sin \frac{a}{2}.$$

   Значит,
   $$z=2\sin \frac{a}{2}\left(\cos \frac{a}{2}+i\sin \frac{a}{2}\right).$$

3. $$z=(\tg 1-i)^4.$$

   Представим число $$\tg 1-i$$ в тригонометрической форме. Его модуль:
   $$r=\sqrt{\tg^2 1+(-1)^2}=\sqrt{\tg^2 1+1}=\frac{1}{\cos 1}.$$

   Так как
   $$\cos \varphi=\frac{\tg 1}{r}=\tg 1\cdot \cos 1=\sin 1,\qquad \sin \varphi=\frac{-1}{r}=-\cos 1,$$
   то можно взять
   $$\varphi=1-\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда
   $$\tg 1-i=\frac{1}{\cos 1}\left(\cos \left(1-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(1-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$

   Возводим в четвёртую степень:
   $$z=\frac{1}{\cos^4 1}\left(\cos \left(4-2\pi\right)+i\sin \left(4-2\pi\right)\right) =\frac{1}{\cos^4 1}\left(\cos 4+i\sin 4\right).$$

4. $$z=\frac{(1+i)^{2n+1}}{(1-i)^{2n-1}}, \qquad n\in \mathbb{N}.$$

   Запишем множители в тригонометрической форме:
   $$1+i=\sqrt2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right),$$
   $$1-i=\sqrt2\left(\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

   Тогда
   $$z=\frac{(\sqrt2)^{2n+1}}{(\sqrt2)^{2n-1}} \cdot \frac{\cos \frac{(2n+1)\pi}{4}+i\sin \frac{(2n+1)\pi}{4}} {\cos \left(-\frac{(2n-1)\pi}{4}\right)+i\sin \left(-\frac{(2n-1)\pi}{4}\right)}.$$

   Деление комплексных чисел в тригонометрической форме даёт:
   $$z=2\left(\cos \frac{(2n+1)\pi}{4}+\frac{(2n-1)\pi}{4}+i\sin \left(\frac{(2n+1)\pi}{4}+\frac{(2n-1)\pi}{4}\right)\right).$$

   Получаем
   $$z=2\left(\cos n\pi+i\sin n\pi\right).$$

   Если $$n$$ чётное, то
   $$z=2(\cos 0+i\sin 0).$$
   Если $$n$$ нечётное, то
   $$z=2(\cos \pi+i\sin \pi).$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right);$$
2) $$2\sin \frac{a}{2}\left(\cos \frac{a}{2}+i\sin \frac{a}{2}\right);$$
3) $$\frac{1}{\cos^4 1}\left(\cos 4+i\sin 4\right);$$
4) $$2\left(\cos n\pi+i\sin n\pi\right).$$