Упр.637 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

С помощью тригонометрической формы комплексного числа решить уравнение:

1. 1) $$z^2=16i$$; 2) $$z^2=-4i$$; 3) $$z^2=2-2\sqrt{3}i$$; 4) $$z^2=-1-\sqrt{3}i$$.

1. $$z^2=16i$$

   Представим правую часть в тригонометрической форме:

   $$16i=16\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right).$$

   Пусть $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi).$$ Тогда

   $$z^2=r^2(\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi).$$

   Следовательно,

   $$r^2=16,\qquad 2\varphi=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

   Отсюда $$r=4$$, а

   $$\varphi=\frac{\pi}{4}+\pi k.$$

   При $$k=0$$ и $$k=1$$ получаем корни:

   $$z_1=4\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,i,$$
   $$z_2=4\left(\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}\right)=-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\,i.$$

2. $$z^2=-4i$$

   Запишем правую часть в тригонометрической форме:

   $$-4i=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).$$

   Тогда

   $$r^2=4,\qquad 2\varphi=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

   Значит, $$r=2$$,

   $$\varphi=-\frac{\pi}{4}+\pi k.$$

   Корни:

   $$z_1=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i,$$
   $$z_2=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i.$$

3. $$z^2=2-2i\sqrt{3}$$

   Представим число в тригонометрической форме:

   $$2-2i\sqrt{3}=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).$$

   Тогда

   $$r^2=4,\qquad 2\varphi=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно, $$r=2$$,

   $$\varphi=-\frac{\pi}{6}+\pi k.$$

   Корни:

   $$z_1=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3}-i,$$
   $$z_2=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}+i.$$

4. $$z^2=-1-\sqrt{3}\,i$$

   Запишем правую часть в тригонометрической форме:

   $$-1-\sqrt{3}\,i=2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$r^2=2,\qquad 2\varphi=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

   Значит, $$r=\sqrt{2}$$,

   $$\varphi=\frac{2\pi}{3}+\pi k.$$

   Корни:

   $$z_1=\sqrt{2}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right) =-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i,$$
   $$z_2=\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i.$$

Ответ

1) $$z=\pm\left(2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,i\right);$$
2) $$z=\pm\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i\right);$$
3) $$z=\pm\left(\sqrt{3}-i\right);$$
4) $$z=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i\right).$$