Упр.637 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) z2 = 16i;
2) z2 = -4i;
3) z2 = 2 — 2i корень 3;
4) z2 = -1 — корень 3i.

1. $$z^2=16i$$

   Представим правую часть в тригонометрической форме:

   $$16i=16\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right).$$

   Пусть $$z=r(\cos \varphi+i\sin \varphi).$$ Тогда

   $$ z^2=r^2(\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi). $$

   Следовательно,

   $$ r^2=16,\qquad 2\varphi=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}. $$

   Отсюда $$r=4$$, а

   $$ \varphi=\frac{\pi}{4}+\pi k. $$

   При $$k=0$$ и $$k=1$$ получаем корни:

   $$ z_1=4\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,i, $$
   $$ z_2=4\left(\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin \frac{5\pi}{4}\right)=-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\,i. $$

2. $$z^2=-4i$$

   Запишем правую часть в тригонометрической форме:

   $$ -4i=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right). $$

   Тогда

   $$ r^2=4,\qquad 2\varphi=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}. $$

   Значит, $$r=2$$,

   $$ \varphi=-\frac{\pi}{4}+\pi k. $$

   Корни:

   $$ z_1=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i, $$
   $$ z_2=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i. $$

3. $$z^2=2-2i\sqrt{3}$$

   Представим число в тригонометрической форме:

   $$ 2-2i\sqrt{3}=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right). $$

   Тогда

   $$ r^2=4,\qquad 2\varphi=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}. $$

   Следовательно, $$r=2$$,

   $$ \varphi=-\frac{\pi}{6}+\pi k. $$

   Корни:

   $$ z_1=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\sqrt{3}-i, $$
   $$ z_2=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-\sqrt{3}+i. $$

4. $$z^2=-1-\sqrt{3}\,i$$

   Запишем правую часть в тригонометрической форме:

   $$ -1-\sqrt{3}\,i=2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right). $$

   Тогда

   $$ r^2=2,\qquad 2\varphi=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}. $$

   Значит, $$r=\sqrt{2}$$,

   $$ \varphi=\frac{2\pi}{3}+\pi k. $$

   Корни:

   $$ z_1=\sqrt{2}\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right) =-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i, $$
   $$ z_2=\sqrt{2}\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i. $$

Ответ

1) $$z=\pm\left(2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,i\right);$$
2) $$z=\pm\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i\right);$$
3) $$z=\pm\left(\sqrt{3}-i\right);$$
4) $$z=\pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i\right).$$