Упр.636 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Записать в тригонометрической форме результат действий:
   
   1) $$z=-1+\frac{i}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right);$$
   
   2) $$z=-3\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\left(\cos\frac{\pi}{12}-i\sin\frac{\pi}{12}\right)^4;$$
   
   3) $$z=\left(\sqrt{3}i+\frac{1}{i}-1\right)^6;$$
   
   4) $$z=\left(1+\frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^{-2}.$$

1. $$z=\frac{-1+i}{2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)}$$

   Число $$-1+i$$ запишем в тригонометрической форме:

   $$|-1+i|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2,$$

   $$\cos \varphi=-\frac{1}{\sqrt2},\quad \sin \varphi=\frac{1}{\sqrt2},\quad \varphi=\frac{3\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$-1+i=\sqrt2\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right).$$

   Следовательно,

   $$z=\frac{\sqrt2\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right)} {2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i\sin \frac{\pi}{4}\right)} =\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos \left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin \left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$

   $$z=\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right).$$

2. $$z=-3\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)\left(\cos \frac{\pi}{12}-i\sin \frac{\pi}{12}\right)^4$$

   Так как

   $$\cos \frac{\pi}{12}-i\sin \frac{\pi}{12}=\cos \left(-\frac{\pi}{12}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{12}\right),$$

   то

   $$\left(\cos \frac{\pi}{12}-i\sin \frac{\pi}{12}\right)^4 =\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$z=-3\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right) \left(\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$$

   $$=-3\left(\cos \left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)\right) =-3\left(\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$

   Переходя к положительному аргументу, получаем

   $$z=3\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right).$$

3. $$z=\left(\frac{\sqrt3\,i+1}{i-1}\right)^6$$

   Запишем множители в тригонометрической форме:

   $$1+\sqrt3\,i=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right),$$

   $$i-1=\sqrt2\left(\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\frac{1+\sqrt3\,i}{i-1} =\frac{2}{\sqrt2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$$

   $$=\sqrt2\left(\cos \left(-\frac{5\pi}{12}\right)+i\sin \left(-\frac{5\pi}{12}\right)\right).$$

   Возводим в шестую степень:

   $$z=\left(\sqrt2\right)^6\left(\cos \left(-\frac{5\pi}{12}\cdot 6\right)+i\sin \left(-\frac{5\pi}{12}\cdot 6\right)\right) =8\left(\cos \left(-\frac{5\pi}{2}\right)+i\sin \left(-\frac{5\pi}{2}\right)\right).$$

   Следовательно,

   $$z=8\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right).$$

4. $$z=\left(\frac{1+i\sqrt3}{2}\right)^{-2}$$

   Число $$1+i\sqrt3$$ имеет модуль $$2$$ и аргумент $$\frac{\pi}{3}$$, значит

   $$1+i\sqrt3=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$z=\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right)^{-2} =\cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right).$$

   Следовательно,

   $$z=\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}\right);$$
2) $$3\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin \frac{5\pi}{6}\right);$$
3) $$8\left(\cos \frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}\right);$$
4) $$\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin \frac{4\pi}{3}.$$