Упр.631 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) -корень 2/2 (1+i);
2) 1+cosa + isina, 0 < =a < =пи/2;
3) -5(cos40 + isin40);
4) 1+cos 12пи/7 + isin 12пи/7.
$$z=-\frac{\sqrt2}{2}(1+i)=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i.$$
$$|z|=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=1.$$
Так как $$\tan\varphi=\frac{b}{a}=\frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}}=1,$$ то $$\varphi=\frac{\pi}{4}.$$
Но число лежит в III четверти, значит $$\varphi=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.$$
Следовательно,
$$z=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}.$$
$$z=-5(\cos40^\circ+i\sin40^\circ)=5(-\cos40^\circ-i\sin40^\circ).$$
Модуль числа равен $$|z|=5,$$ а аргумент соответствует углу
$$\varphi=180^\circ+40^\circ=220^\circ.$$
Тогда
$$z=5(\cos220^\circ+i\sin220^\circ).$$
$$z=1+\cos a+i\sin a,\quad 0\le a\le \frac{\pi}{2}.$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{(1+\cos a)^2+\sin^2 a}=\sqrt{1+2\cos a+\cos^2 a+\sin^2 a}=\sqrt{2+2\cos a}.$$
Используем формулу $$1+\cos a=2\cos^2\frac a2,$$ тогда
$$|z|=\sqrt{4\cos^2\frac a2}=2\cos\frac a2.$$
Теперь
$$\cos\varphi=\frac{1+\cos a}{2\cos\frac a2}=\cos\frac a2,\qquad \sin\varphi=\frac{\sin a}{2\cos\frac a2}=\sin\frac a2.$$
Значит, $$\varphi=\frac a2,$$ и
$$z=2\cos\frac a2\left(\cos\frac a2+i\sin\frac a2\right).$$
$$z=1+\cos\frac{12\pi}{7}+i\sin\frac{12\pi}{7}.$$
Найдём модуль:
$$|z|=\sqrt{\left(1+\cos\frac{12\pi}{7}\right)^2+\sin^2\frac{12\pi}{7}}=\sqrt{2+2\cos\frac{12\pi}{7}}.$$
Так как $$1+\cos x=2\cos^2\frac x2,$$ то
$$|z|=\sqrt{4\cos^2\frac{6\pi}{7}}=2\left|\cos\frac{6\pi}{7}\right|=-2\cos\frac{6\pi}{7}.$$
Далее
$$\cos\varphi=\frac{1+\cos\frac{12\pi}{7}}{-2\cos\frac{6\pi}{7}}=\cos\frac{6\pi}{7},$$
$$\sin\varphi=\frac{\sin\frac{12\pi}{7}}{-2\cos\frac{6\pi}{7}}=\sin\frac{13\pi}{7}.$$
Следовательно, $$\varphi=\frac{13\pi}{7},$$ и
$$z=-2\cos\frac{6\pi}{7}\left(\cos\frac{13\pi}{7}+i\sin\frac{13\pi}{7}\right).$$
Ответ
1) $$z=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4};$$
2) $$z=5(\cos220^\circ+i\sin220^\circ);$$
3) $$z=2\cos\frac a2\left(\cos\frac a2+i\sin\frac a2\right);$$
4) $$z=-2\cos\frac{6\pi}{7}\left(\cos\frac{13\pi}{7}+i\sin\frac{13\pi}{7}\right).$$
