Упр.631 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1. $$-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$$;
2. $$1+\cos\alpha+i\sin\alpha,\quad 0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{2}$$;
3. $$-5(\cos 40^\circ+i\sin 40^\circ)$$;
4. $$1+\cos\frac{12\pi}{7}+i\sin\frac{12\pi}{7}$$.

1. $$z=-\frac{\sqrt2}{2}(1+i)=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i.$$

   $$|z|=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=1.$$

   Так как $$\tan\varphi=\frac{b}{a}=\frac{-\frac{\sqrt2}{2}}{-\frac{\sqrt2}{2}}=1,$$ то $$\varphi=\frac{\pi}{4}.$$

   Но число лежит в III четверти, значит $$\varphi=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$z=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}.$$

2. $$z=-5(\cos40^\circ+i\sin40^\circ)=5(-\cos40^\circ-i\sin40^\circ).$$

   Модуль числа равен $$|z|=5,$$ а аргумент соответствует углу

   $$\varphi=180^\circ+40^\circ=220^\circ.$$

   Тогда

   $$z=5(\cos220^\circ+i\sin220^\circ).$$

3. $$z=1+\cos a+i\sin a,\quad 0\le a\le \frac{\pi}{2}.$$

   Найдём модуль:

   $$|z|=\sqrt{(1+\cos a)^2+\sin^2 a}=\sqrt{1+2\cos a+\cos^2 a+\sin^2 a}=\sqrt{2+2\cos a}.$$

   Используем формулу $$1+\cos a=2\cos^2\frac a2,$$ тогда

   $$|z|=\sqrt{4\cos^2\frac a2}=2\cos\frac a2.$$

   Теперь

   $$\cos\varphi=\frac{1+\cos a}{2\cos\frac a2}=\cos\frac a2,\qquad \sin\varphi=\frac{\sin a}{2\cos\frac a2}=\sin\frac a2.$$

   Значит, $$\varphi=\frac a2,$$ и

   $$z=2\cos\frac a2\left(\cos\frac a2+i\sin\frac a2\right).$$

4. $$z=1+\cos\frac{12\pi}{7}+i\sin\frac{12\pi}{7}.$$

   Найдём модуль:

   $$|z|=\sqrt{\left(1+\cos\frac{12\pi}{7}\right)^2+\sin^2\frac{12\pi}{7}}=\sqrt{2+2\cos\frac{12\pi}{7}}.$$

   Так как $$1+\cos x=2\cos^2\frac x2,$$ то

   $$|z|=\sqrt{4\cos^2\frac{6\pi}{7}}=2\left|\cos\frac{6\pi}{7}\right|=-2\cos\frac{6\pi}{7}.$$

   Далее

   $$\cos\varphi=\frac{1+\cos\frac{12\pi}{7}}{-2\cos\frac{6\pi}{7}}=\cos\frac{6\pi}{7},$$

   $$\sin\varphi=\frac{\sin\frac{12\pi}{7}}{-2\cos\frac{6\pi}{7}}=\sin\frac{13\pi}{7}.$$

   Следовательно, $$\varphi=\frac{13\pi}{7},$$ и

   $$z=-2\cos\frac{6\pi}{7}\left(\cos\frac{13\pi}{7}+i\sin\frac{13\pi}{7}\right).$$

Ответ

1) $$z=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4};$$
2) $$z=5(\cos220^\circ+i\sin220^\circ);$$
3) $$z=2\cos\frac a2\left(\cos\frac a2+i\sin\frac a2\right);$$
4) $$z=-2\cos\frac{6\pi}{7}\left(\cos\frac{13\pi}{7}+i\sin\frac{13\pi}{7}\right).$$