Упр.630 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$|z|=1$$, то $$z=\frac{1}{z}$$.

Если $$|z|=1,$$ то комплексное число $$z$$ можно записать в тригонометрической форме:

$$z=\cos \varphi+i\sin \varphi.$$

Тогда

$$\frac{1}{z}=\frac{1}{\cos \varphi+i\sin \varphi}=\frac{\cos \varphi-i\sin \varphi}{(\cos \varphi+i\sin \varphi)(\cos \varphi-i\sin \varphi)}.$$

В знаменателе получаем:

$$(\cos \varphi+i\sin \varphi)(\cos \varphi-i\sin \varphi)=\cos^2 \varphi+\sin^2 \varphi=1.$$

Значит,

$$\frac{1}{z}=\cos \varphi-i\sin \varphi=\overline{z}.$$

Следовательно, если $$|z|=1,$$ то $$\overline{z}=\frac{1}{z}.$$

Ответ

$$\overline{z}=\frac{1}{z}.$$