Упр.628 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Число $$z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$ можно выразить через тригонометрические функции следующим образом:

$$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3};$$
$$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)+i\sin\frac{5\pi}{3};$$
$$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right);$$
$$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right);$$
$$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}.$$

Какая из этих записей является тригонометрической формой комплексного числа?

Подробный ответ

Дано комплексное число $$z=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Найдём его модуль:

$$|z|=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac34}=1.$$

Тогда тригонометрическая форма имеет вид

$$z=\cos\varphi+i\sin\varphi.$$

Сравниваем действительную и мнимую части:

$$\cos\varphi=\frac12,\qquad \sin\varphi=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Такому значению соответствует угол

$$\varphi=-\frac{\pi}{3}$$

или, что то же самое,