Упр.628 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) 1/2 — корень 3/2 * i = cos 5пи/3 + isin 5пи/3;
2) 1/2 — корень 3/2 * i = cos (-5пи/3) + isin 5пи/3;
3) 1/2 — корень 3/2 * i = cos (-пи/3) + isin (-пи/3);
4) 1/2 — корень 3/2 * i = cos 5пи/3 + isin (-пи/3);
5) 1/2 — корень 3/2 * i = cos пи/3 — isin пи/3.
Какая из этих записей является тригонометрической формой комплексного числа?

Дано комплексное число $$z=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.$$

Найдём его модуль:

$$|z|=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac34}=1.$$

Тогда тригонометрическая форма имеет вид

$$z=\cos\varphi+i\sin\varphi.$$

Сравниваем действительную и мнимую части:

$$\cos\varphi=\frac12,\qquad \sin\varphi=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Такому значению соответствует угол

$$\varphi=-\frac{\pi}{3}$$

или, что то же самое,

$$\varphi=\frac{5\pi}{3}.$$

Значит, верные записи тригонометрической формы:

$$z=\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}$$

и

$$z=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right).$$

Это варианты 1 и 3.

Ответ

1 и 3.