Упр.627 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Записать в тригонометрической форме комплексное число:

1. 1. $$\cos\frac{\pi}{9}-i\sin\frac{\pi}{9}$$;
   2. $$12\left(-\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)$$;
   3. $$\sqrt{2}\left(-\cos\frac{\pi}{7}-i\sin\frac{\pi}{7}\right)$$;
   4. $$3\left(\sin\frac{\pi}{5}+i\cos\frac{\pi}{5}\right)$$.

1. $$\cos \frac{\pi}{9}-i\sin \frac{\pi}{9}$$

   Модуль числа равен $$1$$, а аргумент можно взять равным $$-\frac{\pi}{9}$$, так как

   $$\cos\left(-\frac{\pi}{9}\right)=\cos\frac{\pi}{9}, \qquad \sin\left(-\frac{\pi}{9}\right)=-\sin\frac{\pi}{9}.$$

   Значит,

   $$z=\cos\left(-\frac{\pi}{9}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{9}\right).$$

2. $$12\left(-\cos \frac{\pi}{8}+i\sin \frac{\pi}{8}\right)$$

   Модуль числа равен $$12$$. Для аргумента имеем

   $$-\cos\frac{\pi}{8}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)=\cos\frac{7\pi}{8},$$
   $$\sin\frac{\pi}{8}=\sin\frac{7\pi}{8}.$$

   Следовательно,

   $$z=12\left(\cos\frac{7\pi}{8}+i\sin\frac{7\pi}{8}\right).$$

3. $$\sqrt{2}\left(-\cos \frac{\pi}{7}-i\sin \frac{\pi}{7}\right)$$

   Модуль числа равен $$\sqrt{2}$$. Так как

   $$-\cos\frac{\pi}{7}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=\cos\frac{8\pi}{7},$$
   $$-\sin\frac{\pi}{7}=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=\sin\frac{8\pi}{7},$$

   то

   $$z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{8\pi}{7}+i\sin\frac{8\pi}{7}\right).$$

4. $$3\left(\sin \frac{\pi}{5}+i\cos \frac{\pi}{5}\right)$$

   Модуль числа равен $$3$$. Преобразуем:

   $$\sin\frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=\cos\frac{3\pi}{10},$$
   $$\cos\frac{\pi}{5}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\frac{3\pi}{10}.$$

   Тогда

   $$z=3\left(\cos\frac{3\pi}{10}+i\sin\frac{3\pi}{10}\right).$$

Ответ

1) $$\cos\left(-\frac{\pi}{9}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{9}\right)$$;
2) $$12\left(\cos\frac{7\pi}{8}+i\sin\frac{7\pi}{8}\right)$$;
3) $$\sqrt{2}\left(\cos\frac{8\pi}{7}+i\sin\frac{8\pi}{7}\right)$$;
4) $$3\left(\cos\frac{3\pi}{10}+i\sin\frac{3\pi}{10}\right)$$.