Упр.623 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

z-4/z-8-1=0,
z-12/z-8i = 5/3.

Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x,y\in \mathbb{R}.$$ Тогда система равносильна системе модулей:

$$ \begin{cases} \dfrac{|z-4|}{|z-8|}=1,\\[4pt] \dfrac{|z-12|}{|z-8i|}=\dfrac{5}{3}. \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем:

$$ |z-4|=|z-8|. $$

Подставим $$z=x+yi$$:

$$ (x-4)^2+y^2=(x-8)^2+y^2. $$

$$ x^2-8x+16=x^2-16x+64, $$
$$ 8x=48, $$
$$ x=6. $$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$ 3|z-12|=5|z-8i|. $$

Подставим $$z=6+yi$$:

$$ 3\sqrt{(6-12)^2+y^2}=5\sqrt{6^2+(y-8)^2}. $$

Возведём в квадрат:

$$ 9\bigl((6-12)^2+y^2\bigr)=25\bigl(6^2+(y-8)^2\bigr). $$

$$ 9(36+y^2)=25(36+y^2-16y+64), $$
$$ 324+9y^2=25y^2-400y+2500, $$
$$ 16y^2-400y+2176=0, $$
$$ y^2-25y+136=0. $$

$$ D=25^2-4\cdot 136=625-544=81. $$

$$ y_{1,2}=\frac{25\pm 9}{2}, $$
откуда

$$ y_1=8,\qquad y_2=17. $$

Следовательно,

$$ z_1=6+8i,\qquad z_2=6+17i. $$

Ответ

$$z_1=6+8i,\; z_2=6+17i.$$