Упр.622 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что система уравнений $$\begin{cases} |z+1-i|=\sqrt{2}, \\ |z|=3 \end{cases}$$ не имеет решений.

Пусть $$z=x+iy$$, где $$x,y\in\mathbb{R}$$.

Тогда первое уравнение системы

$$|z+1-i|=\sqrt{2}$$

задаёт окружность с центром $$(-1,\,1)$$ и радиусом $$\sqrt{2}$$, то есть

$$(x+1)^2+(y-1)^2=2.$$

Второе уравнение

$$|z|=3$$

задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $$3$$:

$$x^2+y^2=9.$$

Найдём расстояние между центрами окружностей:

$$d=\sqrt{(-1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}.$$

Сумма радиусов равна

$$\sqrt{2}+3.$$

Так как

$$d=\sqrt{2}<\sqrt{2}+3,$$

то окружности пересекаются. Проверим, есть ли общие точки, подставив из второго уравнения в первое:

$$x^2+y^2=9,$$

$$x^2+2x+1+y^2-2y+1=2,$$

откуда

$$x^2+y^2+2x-2y=0.$$

С учётом $$x^2+y^2=9$$ получаем

$$9+2x-2y=0,$$

$$x-y=-\frac{9}{2}.$$

Но для точек окружности $$x^2+y^2=9$$ имеем $$|x-y|\le \sqrt{2(x^2+y^2)}=3\sqrt{2},$$ а

$$\frac{9}{2}>3\sqrt{2}.$$

Следовательно, равенство $$x-y=-\frac{9}{2}$$ невозможно для точек этой окружности, значит общих точек у окружностей нет.

Таким образом, система не имеет решений.

Ответ

Решений нет.