Упр.621 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) система
|z+1| = |z+2|,
|3z+9| = |5z+10i|;
2) система
(1-i)z = (1+i)z,
|z2+51i|=1.

1. Пусть $$z=x+yi$$, где $$x,y\in \mathbb{R}$$.

   Из первого уравнения:

   $$ |z+1|=|z+2| $$
   $$ (x+1)^2+y^2=(x+2)^2+y^2 $$
   $$ x^2+2x+1=x^2+4x+4 $$
   $$ 2x=-3,\quad x=-\frac{3}{2}. $$

   Из второго уравнения:

   $$ |3z+9|=|5z+10i| $$
   $$ (3x+9)^2+(3y)^2=(5x)^2+(5y+10)^2 $$
   $$ 9x^2+54x+81+9y^2=25x^2+25y^2+100y+100 $$
   $$ 16x^2+16y^2-54x+100y+19=0. $$

   Подставим $$x=-\frac{3}{2}$$:

   $$ 16\cdot \frac{9}{4}+16y^2-54\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+100y+19=0 $$
   $$ 16y^2+100y+136=0 $$
   $$ 4y^2+25y+34=0. $$

   $$ D=25^2-4\cdot 4\cdot 34=625-544=81 $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-25\pm 9}{8}. $$

   $$ y_1=-2,\qquad y_2=-\frac{17}{4}. $$

   Следовательно,

   $$ z_1=-\frac{3}{2}-2i,\qquad z_2=-\frac{3}{2}-\frac{17}{4}i. $$

2. Пусть $$z=x+yi$$, где $$x,y\in \mathbb{R}$$.

   Из первого уравнения:

   $$ (1-i)\overline{z}=(1+i)z $$
   $$ (1-i)(x-yi)=(1+i)(x+yi) $$
   $$ x-yi-xi+y i^2=x+yi+xi+y i^2 $$
   $$ 2yi=-2xi $$
   $$ y=-x. $$

   Из второго уравнения:

   $$ |z^2+51i|=1. $$

   Так как $$z=x+yi$$ и $$y=-x$$, то

   $$ z=x-xi,\qquad z^2=(x-xi)^2=x^2-2x^2i-x^2=-2x^2i. $$

   Тогда

   $$ |z^2+51i|=|(-2x^2+51)i|=1 $$
   $$ |51-2x^2|=1. $$

   Отсюда

   $$ 51-2x^2=1 \quad \text{или} \quad 51-2x^2=-1. $$

   $$ 2x^2=50 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5, $$
   $$ 2x^2=52 \Rightarrow x^2=26 \Rightarrow x=\pm \sqrt{26}. $$

   Так как $$y=-x$$, получаем четыре решения:

   $$ z_1=-5+5i,\quad z_2=5-5i,\quad z_3=-\sqrt{26}+\sqrt{26}\,i,\quad z_4=\sqrt{26}-\sqrt{26}\,i. $$

Ответ

1) $$z_1=-\frac{3}{2}-2i,\; z_2=-\frac{3}{2}-\frac{17}{4}i.$$
2) $$z_1=-5+5i,\; z_2=5-5i,\; z_3=-\sqrt{26}+\sqrt{26}\,i,\; z_4=\sqrt{26}-\sqrt{26}\,i.$$