Упр.621 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить систему уравнений:

1. $$\begin{cases}|z+1|=|z+2|,\\|3z+9|=|5z+10i|\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}(1-i)z=(1+i)z,\\|z2+51i|=1\end{cases}$$

1. Пусть $$z=x+yi$$, где $$x,y\in \mathbb{R}$$.

   Из первого уравнения:

   $$|z+1|=|z+2|$$
   $$(x+1)^2+y^2=(x+2)^2+y^2$$
   $$x^2+2x+1=x^2+4x+4$$
   $$2x=-3,\quad x=-\frac{3}{2}.$$

   Из второго уравнения:

   $$|3z+9|=|5z+10i|$$
   $$(3x+9)^2+(3y)^2=(5x)^2+(5y+10)^2$$
   $$9x^2+54x+81+9y^2=25x^2+25y^2+100y+100$$
   $$16x^2+16y^2-54x+100y+19=0.$$

   Подставим $$x=-\frac{3}{2}$$:

   $$16\cdot \frac{9}{4}+16y^2-54\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+100y+19=0$$
   $$16y^2+100y+136=0$$
   $$4y^2+25y+34=0.$$

   $$D=25^2-4\cdot 4\cdot 34=625-544=81$$
   $$y_{1,2}=\frac{-25\pm 9}{8}.$$

   $$y_1=-2,\qquad y_2=-\frac{17}{4}.$$

   Следовательно,

   $$z_1=-\frac{3}{2}-2i,\qquad z_2=-\frac{3}{2}-\frac{17}{4}i.$$

2. Пусть $$z=x+yi$$, где $$x,y\in \mathbb{R}$$.

   Из первого уравнения:

   $$(1-i)\overline{z}=(1+i)z$$
   $$(1-i)(x-yi)=(1+i)(x+yi)$$
   $$x-yi-xi+y i^2=x+yi+xi+y i^2$$
   $$2yi=-2xi$$
   $$y=-x.$$

   Из второго уравнения:

   $$|z^2+51i|=1.$$

   Так как $$z=x+yi$$ и $$y=-x$$, то

   $$z=x-xi,\qquad z^2=(x-xi)^2=x^2-2x^2i-x^2=-2x^2i.$$

   Тогда

   $$|z^2+51i|=|(-2x^2+51)i|=1$$
   $$|51-2x^2|=1.$$

   Отсюда

   $$51-2x^2=1 \quad \text{или} \quad 51-2x^2=-1.$$

   $$2x^2=50 \Rightarrow x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5,$$
   $$2x^2=52 \Rightarrow x^2=26 \Rightarrow x=\pm \sqrt{26}.$$

   Так как $$y=-x$$, получаем четыре решения:

   $$z_1=-5+5i,\quad z_2=5-5i,\quad z_3=-\sqrt{26}+\sqrt{26}\,i,\quad z_4=\sqrt{26}-\sqrt{26}\,i.$$

Ответ

1) $$z_1=-\frac{3}{2}-2i,\; z_2=-\frac{3}{2}-\frac{17}{4}i.$$
2) $$z_1=-5+5i,\; z_2=5-5i,\; z_3=-\sqrt{26}+\sqrt{26}\,i,\; z_4=\sqrt{26}-\sqrt{26}\,i.$$