Упр.619 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
   1) $$|z|=5$$;
   2) $$|z-1|=3$$;
   3) $$|z+3i|=1$$;
   4) $$|z+2i-1|=2$$;
   5) $$|z-2|=|z+i|$$;
   6) $$|z-1-i|=|z+1+i|$$.

1. $$|z|=5$$

   Это окружность с центром в точке $$z=0$$ и радиусом $$5$$.

2. $$|z-1|=3$$

   Это окружность с центром в точке $$z=1$$ и радиусом $$3$$.

3. $$|z+3i|=1$$

   Это окружность с центром в точке $$z=-3i$$ и радиусом $$1$$.

4. $$|z+2i-1|=2$$

   Это окружность с центром в точке $$z=1-2i$$ и радиусом $$2$$.

5. $$|z-2|=|z+i|$$

   Пусть $$z=x+yi$$. Тогда

   $$\sqrt{(x-2)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y+1)^2}$$
   $$(x-2)^2+y^2=x^2+(y+1)^2$$
   $$x^2-4x+4+y^2=x^2+y^2+2y+1$$
   $$-4x-2y+3=0$$
   $$2y=-4x+3$$
   $$y=-2x+\frac{3}{2}$$

   Это прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему точки $$2$$ и $$-i$$, и проходящая через его середину.

6. $$|z-1-i|=|z+1+i|$$

   Пусть $$z=x+yi$$. Тогда

   $$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}$$
   $$(x-1)^2+(y-1)^2=(x+1)^2+(y+1)^2$$
   $$x^2-2x+1+y^2-2y+1=x^2+2x+1+y^2+2y+1$$
   $$-4x-4y=0$$
   $$x+y=0$$
   $$y=-x$$

   Это прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему точки $$1+i$$ и $$-1-i$$, и проходящая через его середину.

Ответ

1) окружность с центром $$0$$ и радиусом $$5$$;
2) окружность с центром $$1$$ и радиусом $$3$$;
3) окружность с центром $$-3i$$ и радиусом $$1$$;
4) окружность с центром $$1-2i$$ и радиусом $$2$$;
5) $$y=-2x+\frac{3}{2}$$;
6) $$y=-x$$.