Упр.617 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$z+3z=8+12i$$;
2. $$4z-z=-9+10i$$.

1. Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\overline{z}=x-yi.$$ Подставим в уравнение:

   $$z+3\overline{z}=8+12i$$

   $$x+yi+3(x-yi)=8+12i$$

   $$x+yi+3x-3yi=8+12i$$

   $$4x-2yi=8+12i.$$

   Приравниваем действительные и мнимые части:

   $$4x=8,\quad -2y=12.$$

   Отсюда $$x=2,\quad y=-6.$$

   Следовательно, $$z=2-6i.$$

2. Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\overline{z}=x-yi.$$ Подставим в уравнение:

   $$4z-\overline{z}=-9+10i$$

   $$4(x+yi)-(x-yi)=-9+10i$$

   $$4x+4yi-x+yi=-9+10i$$

   $$3x+5yi=-9+10i.$$

   Приравниваем действительные и мнимые части:

   $$3x=-9,\quad 5y=10.$$

   Отсюда $$x=-3,\quad y=2.$$

   Следовательно, $$z=-3+2i.$$

Ответ

1) $$z=2-6i$$; 2) $$z=-3+2i$$.