Упр.614 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что комплексное число $$\frac{1-z}{1+z}$$ является чисто мнимым тогда и только тогда, когда $$|z|=1$$.

Пусть $$z=a+bi,$$ где $$a,b\in\mathbb{R}.$$ Тогда

$$\frac{1-z}{1+z}=\frac{1-(a+bi)}{1+(a+bi)}=\frac{1-a-bi}{1+a+bi}.$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число $$1+a-bi$$:

$$\frac{1-a-bi}{1+a+bi}\cdot\frac{1+a-bi}{1+a-bi} = \frac{(1-a-bi)(1+a-bi)}{(1+a)^2+b^2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(1-a-bi)(1+a-bi)=1-a^2-b^2-2bi.$$

Значит,

$$\frac{1-z}{1+z}=\frac{1-(a^2+b^2)}{(1+a)^2+b^2}-\frac{2b}{(1+a)^2+b^2}i.$$

Это число будет чисто мнимым тогда и только тогда, когда его действительная часть равна нулю:

$$1-(a^2+b^2)=0.$$

Отсюда

$$a^2+b^2=1,$$
то есть

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=1.$$

Обратно, если $$|z|=1,$$ то $$a^2+b^2=1,$$ и действительная часть числа $$\frac{1-z}{1+z}$$ равна нулю, следовательно, оно чисто мнимое.

Ответ

$$\frac{1-z}{1+z}$$ является чисто мнимым тогда и только тогда, когда $$|z|=1.$$