Упр.613 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 613. С помощью равенства (m + ni)(m — ni) = m2 + n2 доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел, является также суммой квадратов двух целых чисел.

Пусть даны два числа, каждое из которых представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел:

$$a^2+b^2 \quad \text{и} \quad c^2+d^2,$$

где $$a,b,c,d$$ — целые числа.

Используем равенство

$$ (m+ni)(m-ni)=m^2+n^2. $$

Тогда

$$a^2+b^2=(a+bi)(a-bi), \qquad c^2+d^2=(c+di)(c-di).$$

Перемножим эти выражения:

$$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di). $$

Сгруппируем множители так:

$$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, $$
$$ (a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i. $$

Тогда

$$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=\bigl((ac-bd)+(ad+bc)i\bigr)\bigl((ac-bd)-(ad+bc)i\bigr). $$

По формуле $$ (m+ni)(m-ni)=m^2+n^2 $$ получаем:

$$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2. $$

Это снова сумма квадратов двух целых чисел.

Ответ

$$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2, $$

то есть произведение двух чисел, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел, также является суммой квадратов двух целых чисел.