Упр.611 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=4c^2$$, если $$|z_1|=|z_2|=c$$.

Пусть $$z_1=a_1+b_1i,\quad z_2=a_2+b_2i.$$ Тогда

$$|z_1|^2=a_1^2+b_1^2=c^2,\qquad |z_2|^2=a_2^2+b_2^2=c^2.$$

Найдём суммы модулей:

$$|z_1+z_2|^2=\left|(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\right|^2=(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2,$$

$$|z_1-z_2|^2=\left|(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i\right|^2=(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2.$$

Сложим эти выражения:

$$\begin{aligned} |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2 &=(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2+(a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2 \\ &=2a_1^2+2a_2^2+2b_1^2+2b_2^2 \\ &=2(a_1^2+b_1^2)+2(a_2^2+b_2^2) \\ &=2c^2+2c^2=4c^2. \end{aligned}$$

Требуемое равенство доказано.

Ответ

$$|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=4c^2.$$