Упр.610 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) i6 + i20 + i30 + i36 + i54;
2) 1/i13 + 1/i23 + 1/i33.

1) Используем периодичность степеней числа $$i$$: $$i^2=-1$$, поэтому

$$ i^6=(i^2)^3=(-1)^3=-1,\quad i^{20}=(i^2)^{10}=(-1)^{10}=1, $$
$$ i^{30}=(i^2)^{15}=(-1)^{15}=-1,\quad i^{36}=(i^2)^{18}=(-1)^{18}=1,\quad i^{54}=(i^2)^{27}=(-1)^{27}=-1. $$

Тогда
$$ i^6+i^{20}+i^{30}+i^{36}+i^{54}=-1+1-1+1-1=-1. $$

2) Преобразуем дроби:

$$ \frac{1}{i^{13}}+\frac{1}{i^{23}}+\frac{1}{i^{33}} = \frac{1}{i\cdot (i^2)^6}+\frac{1}{i\cdot (i^2)^{11}}+\frac{1}{i\cdot (i^2)^{16}}. $$

Так как $$i^2=-1$$, получаем
$$ \frac{1}{i^{13}}+\frac{1}{i^{23}}+\frac{1}{i^{33}} = \frac{1}{i\cdot (-1)^6}+\frac{1}{i\cdot (-1)^{11}}+\frac{1}{i\cdot (-1)^{16}} = \frac{1}{i}-\frac{1}{i}+\frac{1}{i} = \frac{1}{i}. $$

А
$$ \frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i. $$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$-i$$.