Упр.610 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: а) $$i^6+i^{20}+i^{30}+i^{36}+i^{54}$$; б) $$\frac{1}{i^{13}}+\frac{1}{i^{23}}+\frac{1}{i^{33}}$$.

1) Используем периодичность степеней числа $$i$$: $$i^2=-1$$, поэтому

$$i^6=(i^2)^3=(-1)^3=-1,\quad i^{20}=(i^2)^{10}=(-1)^{10}=1,$$
$$i^{30}=(i^2)^{15}=(-1)^{15}=-1,\quad i^{36}=(i^2)^{18}=(-1)^{18}=1,\quad i^{54}=(i^2)^{27}=(-1)^{27}=-1.$$

Тогда
$$i^6+i^{20}+i^{30}+i^{36}+i^{54}=-1+1-1+1-1=-1.$$

2) Преобразуем дроби:

$$\frac{1}{i^{13}}+\frac{1}{i^{23}}+\frac{1}{i^{33}} = \frac{1}{i\cdot (i^2)^6}+\frac{1}{i\cdot (i^2)^{11}}+\frac{1}{i\cdot (i^2)^{16}}.$$

Так как $$i^2=-1$$, получаем
$$\frac{1}{i^{13}}+\frac{1}{i^{23}}+\frac{1}{i^{33}} = \frac{1}{i\cdot (-1)^6}+\frac{1}{i\cdot (-1)^{11}}+\frac{1}{i\cdot (-1)^{16}} = \frac{1}{i}-\frac{1}{i}+\frac{1}{i} = \frac{1}{i}.$$

А
$$\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i.$$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$-i$$.