Упр.61 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) $$\sin\frac{\pi}{9}$$ и $$\cos\frac{\pi}{9}$$; 2) $$\sin\frac{9\pi}{8}$$ и $$\cos\frac{9\pi}{8}$$; 3) $$\sin\frac{\pi}{5}$$ и $$\cos\frac{5\pi}{14}$$; 4) $$\sin\frac{\pi}{8}$$ и $$\cos\frac{3\pi}{10}$$.

1. $$\cos \frac{\pi}{9}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{9}\right)=\sin \frac{7\pi}{18}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{9}<\frac{7\pi}{18}$$ и на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$\sin x$$ возрастает, то $$\sin \frac{\pi}{9}<\sin \frac{7\pi}{18}=\cos \frac{\pi}{9}.$$
2. $$\cos \frac{9\pi}{8}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{8}\right)=-\cos \frac{\pi}{8}=-\sin \frac{3\pi}{8}.$$
   Кроме того,
   $$\sin \frac{9\pi}{8}=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{8}\right)=-\sin \frac{\pi}{8}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{8}<\frac{3\pi}{8}$$ и $$\sin x$$ возрастает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$, то $$\sin \frac{\pi}{8}<\sin \frac{3\pi}{8}.$$ Умножая на $$-1$$, получаем $$-\sin \frac{\pi}{8}>-\sin \frac{3\pi}{8},$$
   то есть
   $$\sin \frac{9\pi}{8}>\cos \frac{9\pi}{8}.$$
3. $$\cos \frac{5\pi}{14}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{14}\right)=\sin \frac{\pi}{7}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{5}>\frac{\pi}{7}$$ и $$\sin x$$ возрастает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$, то
   $$\sin \frac{\pi}{5}>\sin \frac{\pi}{7}=\cos \frac{5\pi}{14}.$$
4. $$\cos \frac{3\pi}{10}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{10}\right)=\sin \frac{\pi}{5}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{5}$$ и $$\sin x$$ возрастает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$, то $$\sin \frac{\pi}{8}<\sin \frac{\pi}{5}=\cos \frac{3\pi}{10}.$$

Ответ

1) $$\sin \frac{\pi}{9}<\cos \frac{\pi}{9}$$;
2) $$\sin \frac{9\pi}{8}>\cos \frac{9\pi}{8}$$;
3) $$\sin \frac{\pi}{5}>\cos \frac{5\pi}{14}$$;
4) $$\sin \frac{\pi}{8}<\cos \frac{3\pi}{10}$$.