Упр.608 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Выполнить действия:

1. $$\frac{5+12i}{8-6i}+\frac{(1+2i)^2}{2+i}$$;
2. $$\frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^2}$$.

1. $$\frac{5+12i}{8-6i}+\frac{(1+2i)^2}{2+i}$$

   Найдём квадраты:
   $$(1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i$$

   Тогда
   $$\frac{5+12i}{8-6i}+\frac{-3+4i}{2+i}$$

   Умножим дроби на сопряжённые знаменатели:
   $$\frac{5+12i}{8-6i}=\frac{(5+12i)(8+6i)}{(8-6i)(8+6i)}=\frac{40+30i+96i+72i^2}{64-36i^2} =\frac{-32+126i}{100}$$
   $$\frac{-3+4i}{2+i}=\frac{(-3+4i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{-6+3i+8i-4i^2}{4-i^2} =\frac{-2+11i}{5}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{-32+126i}{100}+\frac{-2+11i}{5} =\frac{-32+126i}{100}+\frac{-40+220i}{100} =\frac{-72+346i}{100} =-\frac{18}{25}+\frac{173}{50}i$$

2. $$\frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^2}$$

   Вычислим числитель:
   $$(1+2i)^2=-3+4i$$
   $$(1-i)^3=(1-i)^2(1-i)=(-2i)(1-i)=-2-2i$$
   $$(1+2i)^2-(1-i)^3=(-3+4i)-(-2-2i)=-1+6i$$

   Вычислим знаменатель:
   $$(3+2i)^3=(3+2i)(3+2i)^2=(3+2i)(5+12i)=-9+46i$$
   $$(2+i)^2=3+4i$$
   $$(3+2i)^3-(2+i)^2=(-9+46i)-(3+4i)=-12+42i$$

   Тогда
   $$\frac{-1+6i}{-12+42i} =\frac{(-1+6i)(-12-42i)}{(-12+42i)(-12-42i)} =\frac{-252+72i+42i-252i^2}{144+1764}$$
   $$=\frac{-252+114i+252}{1908} =\frac{114i}{1908} =\frac{22}{159}-\frac{5}{318}i$$

Ответ

1) $$-\frac{18}{25}+\frac{173}{50}i$$

2) $$\frac{22}{159}-\frac{5}{318}i$$