Упр.607 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. а) $$(3-2i)^2$$;
   б) $$(1+2i)^3$$;
   в) $$(1+i)^4$$;
   г) $$(1-i)^6$$;
   д) $$(1+i)^3-(1-i)^3$$;
   е) $$\left(\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^2$$.

1. $$\left(3-2i\right)^2=3^2-2\cdot 3\cdot 2i+(2i)^2=9-12i+4i^2=9-12i-4=5-12i.$$

2. $$\left(1+2i\right)^3=1+3\cdot 1^2\cdot 2i+3\cdot 1\cdot (2i)^2+(2i)^3$$
   $$=1+6i+12i^2+8i^3=1+6i-12-8i=-11-2i.$$

3. $$\left(1+i\right)^4=\left((1+i)^2\right)^2=\left(1+2i+i^2\right)^2=\left(2i\right)^2=4i^2=-4.$$

4. $$\left(1-i\right)^6=\left((1-i)^2\right)^3=\left(1-2i+i^2\right)^3=\left(-2i\right)^3=-8i^3=8i.$$

5. $$\left(1+i\right)^3-\left(1-i\right)^3$$
   $$=\left(1+3i+3i^2+i^3\right)-\left(1-3i+3i^2-i^3\right)$$
   $$=\left(1+3i-3-i\right)-\left(1-3i-3+i\right)=4i.$$

6. $$\left(\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12-\frac{i\sqrt3}{2}\right)^2$$
   $$=\left(\frac14+\frac{i\sqrt3}{2}+\frac{3i^2}{4}\right)+\left(\frac14-\frac{i\sqrt3}{2}+\frac{3i^2}{4}\right)$$
   $$=\frac12+\frac{6i^2}{4}=\frac12-\frac32=-1.$$

Ответ

1) $$5-12i$$; 2) $$-11-2i$$; 3) $$-4$$; 4) $$8i$$; 5) $$4i$$; 6) $$-1$$.