Упр.6 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\frac{1}{2}\sin 2x-\sin x$$
2. $$y=\frac{2}{\cos 2x}-\sin 2x$$
3. $$y=\frac{1}{\sin x}-\sin 3x$$
4. $$y=\frac{1}{\cos 3x}+\cos x$$

1. $$y=\frac{1}{2\sin^2 x-\sin x}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$2\sin^2 x-\sin x\ne 0$$

   $$\sin x(2\sin x-1)\ne 0$$

   Отсюда

   $$\sin x\ne 0,\qquad \sin x\ne \frac12.$$

   Следовательно,

   $$x\ne \pi n,\qquad x\ne (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$y=\frac{2}{\cos^2 x-\sin^2 x}$$

   Знаменатель не должен быть равен нулю:

   $$\cos^2 x-\sin^2 x\ne 0$$

   $$\cos 2x\ne 0$$

   $$2x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$

   $$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. $$y=\frac{1}{\sin x-\sin 3x}$$

   Требуем:

   $$\sin x-\sin 3x\ne 0$$

   Используем формулу:

   $$\sin x-\sin 3x=2\sin(-x)\cos 2x=-2\sin x\cos 2x.$$

   Тогда

   $$\sin x\ne 0,\qquad \cos 2x\ne 0.$$

   Значит,

   $$x\ne \pi n,\qquad x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. $$y=\frac{1}{\cos^3 x+\cos x}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$\cos^3 x+\cos x\ne 0$$

   $$\cos x(\cos^2 x+1)\ne 0$$

   Так как $$\cos^2 x+1>0$$ при любых $$x$$, то остаётся условие

   $$\cos x\ne 0.$$

   Следовательно,

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x\ne \pi n,\; x\ne (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
2) $$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$;
3) $$x\ne \pi n,\; x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$;
4) $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.