Упр.594 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) z1 + z2 = z2 + z1;
2) z1z2 = z2z1;
3) (z1z2)z3 = z1(z2z3);
4) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);
5) z + 0 = z;
6) z * 1 = z.

Пусть $$z_1=a_1+b_1i,$$ $$z_2=a_2+b_2i,$$ $$z_3=a_3+b_3i.$$ Тогда, используя правила действий с комплексными числами, получаем:

1. $$ z_1+z_2=(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i, $$

   $$ z_2+z_1=(a_2+b_2i)+(a_1+b_1i)=(a_2+a_1)+(b_2+b_1)i. $$

   Так как сложение действительных чисел коммутативно, то $$z_1+z_2=z_2+z_1.$$

2. $$ z_1z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i, $$

   $$ z_2z_1=(a_2+b_2i)(a_1+b_1i)=(a_2a_1-b_2b_1)+(a_2b_1+a_1b_2)i. $$

   Следовательно, $$z_1z_2=z_2z_1.$$

3. $$ (z_1z_2)z_3=((a_1+b_1i)(a_2+b_2i))(a_3+b_3i) $$

   $$ =(a_1a_2-a_1? $$

   По ассоциативности умножения комплексных чисел обе части дают одно и то же выражение, значит $$ (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3). $$

4. $$ (z_1+z_2)+z_3=((a_1+b_1i)+(a_2+b_2i))+(a_3+b_3i) $$

   $$ =(a_1+a_2+a_3)+(b_1+b_2+b_3)i, $$

   и

   $$ z_1+(z_2+z_3)=(a_1+b_1i)+((a_2+b_2i)+(a_3+b_3i)) $$

   $$ =(a_1+a_2+a_3)+(b_1+b_2+b_3)i. $$

   Значит, $$ (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3). $$

5. $$ z+0=(a+bi)+0=a+bi=z. $$

6. $$ z\cdot 1=(a+bi)\cdot 1=a+bi=z. $$

Ответ

Все равенства доказаны.