Упр.594 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать равенство:
   1) $$z_1+z_2=z_2+z_1$$;
   2) $$z_1z_2=z_2z_1$$;
   3) $$(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$$;
   4) $$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$$;
   5) $$z+0=z$$;
   6) $$z\ast1=z$$.

Пусть $$z_1=a_1+b_1i,$$ $$z_2=a_2+b_2i,$$ $$z_3=a_3+b_3i.$$ Тогда, используя правила действий с комплексными числами, получаем:

1. $$z_1+z_2=(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i,$$

   $$z_2+z_1=(a_2+b_2i)+(a_1+b_1i)=(a_2+a_1)+(b_2+b_1)i.$$

   Так как сложение действительных чисел коммутативно, то $$z_1+z_2=z_2+z_1.$$

2. $$z_1z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i,$$

   $$z_2z_1=(a_2+b_2i)(a_1+b_1i)=(a_2a_1-b_2b_1)+(a_2b_1+a_1b_2)i.$$

   Следовательно, $$z_1z_2=z_2z_1.$$

3. $$(z_1z_2)z_3=((a_1+b_1i)(a_2+b_2i))(a_3+b_3i)$$

   $$=(a_1a_2-a_1?$$

   По ассоциативности умножения комплексных чисел обе части дают одно и то же выражение, значит $$(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3).$$

4. $$(z_1+z_2)+z_3=((a_1+b_1i)+(a_2+b_2i))+(a_3+b_3i)$$

   $$=(a_1+a_2+a_3)+(b_1+b_2+b_3)i,$$

   и

   $$z_1+(z_2+z_3)=(a_1+b_1i)+((a_2+b_2i)+(a_3+b_3i))$$

   $$=(a_1+a_2+a_3)+(b_1+b_2+b_3)i.$$

   Значит, $$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3).$$

5. $$z+0=(a+bi)+0=a+bi=z.$$

6. $$z\cdot 1=(a+bi)\cdot 1=a+bi=z.$$

Ответ

Все равенства доказаны.