Упр.593 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти действительные значения $$x$$ и $$y$$, если:

1. $$(x+2yi)+(3y-2xi)=2+4i$$;
2. $$(2x+5yi)+(y+xi)=2+i$$;
3. $$y-\frac{10}{x}+7i=\frac{8i}{x}+yi-2$$;
4. $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{i}{x}=\frac{3}{x}-\frac{i}{y}+3i$$.

1. $$\left(x+2yi\right)+\left(3y-2xi\right)=2+4i$$

   Соберём действительную и мнимую части:

   $$\left(x+3y\right)+\left(2y-2x\right)i=2+4i$$

   Тогда

   $$\begin{cases} x+3y=2,\\ 2y-2x=4. \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$y-x=2 \Rightarrow x=y-2.$$

   Подставим в первое:

   $$y-2+3y=2$$

   $$4y=4,\quad y=1.$$

   Тогда

   $$x=1-2=-1.$$

2. $$\left(2x+5yi\right)+\left(y+xi\right)=2+i$$

   Получаем:

   $$\left(2x+y\right)+\left(5y+x\right)i=2+i$$

   Следовательно,

   $$\begin{cases} 2x+y=2,\\ x+5y=1. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=2-2x.$$

   Подставим во второе:

   $$x+5(2-2x)=1$$

   $$x+10-10x=1$$

   $$-9x=-9,\quad x=1.$$

   Тогда

   $$y=2-2\cdot 1=0.$$

3. $$y-\frac{10}{x}+7i=\frac{8i}{x}+yi-2$$

   Перепишем по действительной и мнимой частям:

   $$\left(y-\frac{10}{x}\right)+7i=-2+\left(y+\frac{8}{x}\right)i$$

   Тогда

   $$\begin{cases} y-\dfrac{10}{x}=-2,\\ 7=y+\dfrac{8}{x}. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$y=\frac{10}{x}-2.$$

   Подставим во второе:

   $$7=\frac{10}{x}-2+\frac{8}{x}$$

   $$7=\frac{18}{x}-2$$

   $$\frac{18}{x}=9,\quad x=2.$$

   Тогда

   $$y=\frac{10}{2}-2=3.$$

4. $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{i}{x}=\frac{3}{x}-\frac{i}{y}+3i$$

   Сравним действительные и мнимые части:

   $$\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{x},\\ \dfrac{1}{x}=3-\dfrac{1}{y}. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$\frac{1}{y}=\frac{3}{x}-\frac{1}{x}=\frac{2}{x},\quad y=\frac{x}{2}.$$

   Из второго уравнения:

   $$\frac{1}{x}=3-\frac{2}{x}$$

   $$\frac{3}{x}=3,\quad x=1.$$

   Тогда

   $$y=\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) $$x=-1,\ y=1$$; 2) $$x=1,\ y=0$$; 3) $$x=2,\ y=3$$; 4) $$x=1,\ y=\frac{1}{2}$$.